ГЛАВА XII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА

§ 1. Исторический обзор

Можно сказать, что использованные в предыдущих главах методы служат непосредственным следствием и обобщением классической работы Фурье. Сравнительно недавно был разработан другой метод исследования дифференциальных уравнений прикладной математики, особенно хорошо приспособленный для решения задач теплопроводности. Этот метод в значительной степени основан на работе Хевисайда. Все полученные выше решения задач теплопроводности в случае нестационарного режима можно найти при помощи нового метода. Однако, поскольку преимущества этого метода практически возрастают вместе со сложностью задачи, по-видимому, лучше всего приложить его для иллюстрации к нескольким уже рассмотренным задачам, а затем использовать его в более сложных случаях, исследовать которые другими методами очень трудно.

В 1890 г. Хевисайд разработал ставший знаменитым операционный метод для решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, встречающихся в теории электрических цепей. Для этого случая Хевисайд дал элементарное обоснование своего метода. Затем он обобщил его на дифференциальные уравнения в частных производных электромагнитного поля и теплопроводности и получил целый ряд новых решений, причем этим методом не только удалось найти решения еще нерешенных задач, но и получить решения новых типов, например решения, специально соответствующие большим или малым промежуткам времени. Математическая строгость этих решений оставалась довольно сомнительной, и поэтому появилась настоятельная потребность математически строго обосновать всю теорию. Первый шаг в этом направлении был сделан Бромвичем [2], который в своей классической статье получил контурный интеграл с операционным выражением Хевисайда в качестве подынтегральной функции. Далее он доказал, что этот интеграл удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальным условиям, а позже оценил интеграл обычными методами контурного интегрирования. Его идеи были в дальнейшем развиты в книге [4] и нашли широкое использование в теории теплопроводности. Подобный метод, в котором также применяется контурный интеграл, был разработан Карслоу [5] (см. также приложение 1), но в его методе

тегральная функция определялась не по методу Хевисайда, а независимым образом.

Другой метод, подтверждающий правильность работы Хевисайда, был разработан Карсоном и Ван-дер-Полем, которые показали, что искомое решение можно найти из операционного выражения Хевисайда, решая интегральное уравнение. Это интегральное уравнение представляет собой просто интеграл, который появляется в уравнении (2.1) данной главы как определение преобразования Лапласа; отметим здесь же, что упоминавшийся выше контурный интеграл Бромвича представляет собой просто контурный интеграл который появится в соотношении (3.8) в теореме обращения преобразования Лапласа.

Таким образом, излагаемый ниже метод преобразования Лапласа объединяет теории Хевисайда, Бромвича и Карсона. Важность этого метода подчеркивается в ряде статей, большинство которых посвящено рассмотрению задач теплопроводности [7].

Ниже мы кратко изложим метод преобразования Лапласа, приводя формулировку теорем и схемы их доказательств, отвечающие поставленным здесь задачам; более полное изложение можно найти в работах, специально посвященных этому предмету Как отмечалось выше, решения, полученные методом Бромвича — Джефриза, часто встречаются в литературе, посвященной теплопроводности; операционные выражения, используемые ими для всегда отличаются множителем от полученных нами выражений для записанных в принятых ниже обозначениях. Метод вывода решений с помощью теории контурного интегрирования одинаков в обоих случаях, и поэтому статьи, в которых использованы одни обозначения, легко читать лицам, привыкшим к другим обозначениям.