§ 6. Релаксационные методы

В предыдущих параграфах рассматривались методы последовательных приближений для решения уравнений в бесконечной области Релаксационные методы [32] применимы к установившимся процессам, заданным в конечной области с известными условиями во всех точках границы. В течение многих лет эти методы

использовались для решения уравнений Лапласа и Пуассона; они особенно полезны для решения таких задач теплопроводности, как задача об установившемся потоке через стенку, изогнутую под прямым углом, или через область, находящуюся между кубами с параллельными гранями и общим центром симметрии; подобные задачи трудно (или вообще невозможно) решить аналитическими методами. Этот метод слишком хорошо известен, чтобы его нужно было здесь излагать. В литературе можно найти много достаточно полных его описаний (см., например, [6]).

При двумерном установившемся тепловом потоке необходимо решить уравнение

в данной области при заданных условиях на ее граничной поверхности. Используя соотношение (2.21) настоящей главы и пренебрегая разностями более высоких порядков [37], заменим уравнение (6.1) разностным уравнением

которое должно быть решено при заданных условиях в точках сети на самой границе или близ нее. Именно для таких задач и были первоначально разработаны релаксационные методы; только недавно были сделаны попытки использовать их для рассмотрения неустановившихся процессов (например, для задач с переменным тепловым потоком).

Чтобы применить релаксационные методы к дифференциальному уравнению

рассмотрим область при при заданных условиях на линиях

Один из методов, которым можно воспользоваться, заключается в введении [39] новой функции определяемой соотношением

при условии когда когда когда Эти условия не являются несовместимыми и не накладывают никаких ограничений на Подставляя соотношение (6.4) в (6.3), получим

с рядом граничных условий, к которым применимы релаксационные методы.

Помимо этого, используется ряд методов, которые считаются релаксационными; однако на самом деле они являются методами последовательных приближений и в них релаксационные методы используются для решения системы уравнений для значений в любой заданный момент времени. Таким образом, релаксационные методы использовались для решения системы уравнений (3.11) данной главы, что позволило выразить через в методе Кранка — Никольсона. Важный метод подобного типа был предложен Либманом [41], который подставлял в соотношение (3.2) вместо (3.3) равноценное выражение

и, таким образом, получал разностное уравнение

где Эту систему уравнений для значений выражаемых через затем решают релаксационными методами. Эти методы обладают тем преимуществом» что они устойчивы при всех значениях

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)