§ 4. Неограниченный цилиндр. Радиальный поток. Неустановившаяся температура
Пусть начальное распределение температур задано в виде 
и пусть поверхность 
поддерживается при постоянной температуре, которую можно принять равной нулю.
Уравнения температурного поля записываются в виде
и
Если положить 
где 
функция только 
то мы получим для и уравнение
которое представляет собой уравнение Бесселя нулевого порядка.
Так как его решение второго рода 
неограничено при 
то частное решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее нашей задаче» имеет вид
где 
функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Чтобы удовлетворить граничному условию, а должно служить корнем уравнения
Известно, что это уравнение не имеет комплексных или кратных корней, а имеет бесчисленное множество действительных положительных корней [24]
Каждому положительному корню а соответствует отрицательный корень — а. Первые несколько корней приводятся в приложении 4 (см. табл. 3, 
).
Если функцию 
можно разложить в ряд
то решением задачи служит ряд
Допустим, что можно произвести такое разложение в ряд и что сам ряд можно интегрировать почленно. Тогда, воспользовавшись определенными интегралами, которые мы рассмотрим в следующем параграфе, можно найти коэффициенты этого ряда.
Ряд Фурье — Бесселя (4.1), представляющий собой разложение функции 
можно применить для решения задачи о цилиндре с нулевой температурой поверхности. Если же на его поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то граничное условие должно иметь вид
а для того чтобы 
удовлетворяло заданному условию, а должно служить корнем уравнения
В этом случае мы предполагаем, что функцию 
можно разложить в ряд (4.1), где 
теперь являются корнями (4.3). Разложение в такой ряд (ряд Дини) и соответствующие разложения в ряд по функциям Бесселя 
порядка рассматриваются в книге Ватсона [24].
В следующем параграфе мы найдем основные определенные интегралы, позволяющие нам оценить коэффициенты во всех рядах, которые представляют для нас интерес. Там же будут решены различные задачи по теплопроводности цилиндра; при этом мы будем исходить из предположения о возможности разложения в ряд и допустимости почленного интегрирования. Все решения можно получить при помощи преобразования Лапласа, как это сделано в гл. XIII, XIV.
