§ 4. Область [0, l] Начальная температура f(x). Границы поддерживаются при постоянной температуре или изолированы

Если границы поддерживаются при постоянных температурах и то мы можем написать

и

Как и в § 14 гл. I, сведем эту задачу к задаче об установившейся температуре и к задаче, в которой границы поддерживаются при температуре» равной нулю.

Пусть

где удовлетворяют следующим уравнениям:

и

Отсюда сразу находим, что

и, как следует из § 3 настоящей главы,

где

Таким образом,

Наиболее прост и наиболее важен случай области с нулевой начальной температурой и постоянной температурой V на плоскостях при Решение, которое непосредственно следует из (4.1) или (3.8), имеет вид

Вводя безразмерные параметры

можно записать (4.2) следующим образом:

и решение для всех значений легко получить из семейства кривых в двух измерениях. На рис. 11 изображен ряд графиков зависимости от для различных значений

Рис. 11. Распределение температур в различные моменты времени в пластине — при нулевой начальной температуре и температуре поверхности, равной Числа на кривых указывают значения

На рис. 12 приведены графики для температур в центре средних температур для пластины, цилиндра и сферы. Для случая, когда конец изолирован, конец поддерживается при температуре V, а начальная температура равна решение получается таким же, как и в §§ 3 и 4 данной главы, но теперь будет уже выражаться рядом косинусов. Это решение записывается в виде

Некоторые результаты для этого случая были приведены выше (см. стр. 101—103).

Рис. 12. Распределения средней температуры и температуры в центре для пластины толщиной неограниченного кругового цилиндра диаметром и сферы диаметром

Начальная температура равна нулю, температура поверхности равна

Если начальная температура равна и оба конца изолированы, то решение имеет вид