§ 16. Случай зависимости термических характеристик вещества от температуры
В § 6 гл. I было показано, что если К и с зависят от температуры, то уравнение линейного потока тепла
или
приводится в результате замены переменной
в виду
где 
функция 
Здесь можно использовать любое из уравнений (16.1), (16.2) и (16.4).
Исторически сложилось так, что в первых статьях рассматривались задачи с переменными термическими характеристиками; однако впоследствии, частично из-за возникавших трудностей, частично из-за недостатка данных об изменении термических характеристик с температурой, таким задачам посвящалось очень мало работ. В последнее время благодаря накоплению сведений о термических характеристиках веществ, а также ввиду важности подобных задач в теории диффузии эти проблемы привлекли очень большое внимание. Для их решения обычно следует применять численные методы, но имеются также некоторые чрезвычайно интересные теоретические подходы. Здесь мы подробно рассмотрим лишь те из них, которые важны для задач теплопроводности. Полный разбор остальных методов можно найти в гл. IX книги Крэнка [80].
I. Преооразование Больцмана [81].
Решения ряда важных задач, в которых температуропроводность постоянна, представляют собой функции только от
Отсюда следует, что необходимо рассмотреть возможность нахождения в такой форме решений уравнения (16.1). Если предположить, что 
является функцией только 
то уравнение (16.1) приводится к обычному дифференциальному уравнению
а уравнение (16.4) принимает вид
Пригодность выражения (16.5) лимитируется тем, что граничные и начальные условия также должны выражаться только через 
Например, поскольку 
при 
при 
очевидно, что это соотношение применимо в области 
для постоянной начальной температуры и в плоскости 
для постоянной температуры при 
Следует отметить, что употребление термина «преобразование» применительно к соотношению (16.5) нельзя считать правильным, так как при этом предполагается, что при замене переменных в уравнении (16.1), скажем, на 
уравнение в частных производных приводится к обычному дифференциальному уравнению (16.6), тогда как на самом деле оно просто преобразуется в уравнение по 
Смысл данного метода заключается в том, что если начальные и граничные условия, которым удовлетворяет уравнение (16.1), можно выразить только через 6, то решение (16.6), которое удовлетворяет этим условиям, дает решение (16.1) с граничными условиями; при этом полученное решение представляет собой функцию только 
и можно полагать, что оно является единственным.
Если 
постоянная величина, то для (16.7) непосредственно получается обычное решение
Имеются различные интегралы уравнений (16.6) и (16.7), например
для случая, когда с — постоянная величина. Этот интеграл является исходным для численного метода Филипа [82] 
Приближенные решения уравнения (16.6) легко получаются для случаев, при которых К изменяется медленно.
Кирхгоф и Ганземан [30] разобрали случай 
При этом они искали решение в виде 
и считали, что 
малы.
II. Преобразование Пика.
Предположим, что 
является функцией 
которая удовлетворяет уравнению
где 
функции только 
Тогда, если 
функция только 
то уравнение (16.2) принимает вид
Необходимо также преобразовать граничные условия. Так, если граничными условиями для 
служат 
при 
и 
при 
то граничные условия для 
имеют вид 
при 
при 
Например, для области 
в которой граничными условиями служат 
при 
при 
получим, что 
удовлетворяет уравнению (16.10), а уравнение (16.11) принимает вид
и решается с граничными условиями 
при 
при 
.
III. Точные решения для частных случаев.
Задачи, в которых термические характеристики являются ступенчатыми функциями температуры [80, 85], можно точно решить методами, изложенными в § 2 гл. XI.
Разобраны также задачи, в которых теплопроводности выражаются в виде 
[80, 86].
IV. Другие методы.
Были рассмотрены различные приближенные методы для решения задач, в которых теплопроводности выражаются в виде 
[80]. Следует отметить, что самый важный закон в теории диффузии, а именно закон
где 
абсолютная температура, 
постоянные, еще полностью не проанализирован.
Был предложен метод последовательных приближений, причем в качестве нулевого приближения используется случай постоянных термических характеристик, а для получения первого приближения применяется функция Грина [87].
V. Установившееся состояние.
В данном случае уравнение (16.1) сводится к обыкновенному уравнению
которое можно сразу же проинтегрировать для целого ряда важных специальных случаев. В задачах, в которых К зависит только от 
результаты непосредственно следуют из результатов для постоянного К, найденных в ряде важных специальных задач как одномерных, так и двух- и трехмерных (см. § 6 гл. I). Были получены графики распределений температур при линейном и радиальном потоке тепла для величин К, выражающихся в виде 
[88].
