§ 9. Полуограниченное тело. Тепловой поток на границе х = 0 является заданной функцией времени. Начальная температура равна нулю

1. Тепловой поток (в единицу времени через единицу площади) постоянен. Функция

удовлетворяет дифференциальному уравнению, аналогичному уравнению для т. е.

Воспользовавшись соотношением (4.10), мы получим решение уравнения (9.2) при условии

в виде

Таким образом, используя соотношения (9) и (11) из приложения 2, получим из выражения

или

или, наконец,

Таблица значений функций приведена в приложении 2. Температура при оказывается равной

Граничное условие, характеризуемое постоянным тепловым потоком, представляет значительный практический интерес. Оно встречается при генерировании тепла в результате пропускания электрического тока через плоский нагревательный элемент, при выделении тепла вследствие трения; кроме того, оно приближенно выполняется в ранних фазах процесса нагрева печи или помещения. Это граничное условие имеет также большое значение в задачах диффузии. Процесс охлаждения поверхности Земли после захода Солнца в ясную безветренную ночь [21] весьма похож на процесс отдачи тепла при постоянном потоке тепла (в единицу времени через единицу площади), и, следовательно, выражение (9.8) показывает изменение температуры поверхности Земли после захода Солнца.

Приведенные выше результаты применимы также к области когда в плоскости тепловой поток равен Соответствующие результаты для случая, когда области состоят из различных материалов, будут приведены в § 15 данной главы.

2. Накальная температура в области равна нулю. На плоскости тепловой поток равен В данном случае

Это следует из соотношения (9.5) и из теоремы Дюамеля (см. § 14 гл. I).

3. Начальная температура в области равна нулю. В течение некоторого времени на плоскости тепловой поток поддерживается постоянным и равным По истечении этого времени поступление тепла прекращается, и граница термически изолируется. Если то температура в момент времени определяется по формулам (9.6) или (9.7); если же то она равна следующей величине:

Указанная температура будет наблюдаться в опыте, в котором в неограниченную среду погружен плоский электронагревательный элемент, выделяющий в единицу времени через единицу площади количество тепла, равное и включенный в течение времени а затем выключенный.

4. Начальная температура в области равна нулю. В течение некоторого времени на плоскости тепловой поток поддерживается равным По истечении этого времени поступление тепла прекращается и ограничивающая поверхность изолируется. В момент времени температура

на границе будет равна

Эта температура совпадает с температурой поверхности полуограниченного твердого тела для случая, когда его граница в течение некоторого времени поддерживается при температуре, равной единице, а затем изолируется.

Температуру для любого х при можно получить из выражения (9.9) в виде определенного интеграла:

5. Накальная температура в области равна нулю. Тепловой поток на плоскости для равен В данном случае

Как и прежде, первый член в правой части (9.13) представляет собой установившееся периодическое решение, а второй — неустановившееся.

6. Тепловой поток на плоскости записывается в виде

Тогда периодическая компонента температуры для любого х в момент времени равна следующей величине:

Полученный результат можно рассматривать как некоторое приближение [21], описывающее нагревание Солнцем поверхности Земли в равноденствие; первая строка в соотношениях (9.14) соответствует условиям в ночное время, вторая — условиям в дневное время.

7. Начальная температура в области равна нулю. При тепловой поток внутрь твердого тела равен где может равняться какому-нибудь положительному целому числу. В этом случае

Функция определяется в приложении 2. Температура на поверхности равна