§ 7. Установившаяся периодически изменяющаяся температура в составных пластинах
Такие задачи лучше всего решать матричным методом, который обычно используется в теории электрических цепей [13—17]. Сначала рассмотрим периодически изменяющуюся температуру в пластине в обозначениях, принятых в этой теории. Предполагается, что все величины умножены на временнбй множитель 
мы опускаем его повсюду, и он появляется лишь в конце вычисления, если необходимо выбирать действительные или мнимые части. В каждой точке нас всегда будут интересовать две величины — температура 
и тепловой поток 
. В этом случае, как и в § 6 гл. II, общее решение, соответствующее установившимся периодически изменяющимся состояниям (как указывалось выше, мы опускаем временной множитель), имеет вид
где
(комплексные) константы, 
температура и тепловой поток в точке х.
Пусть 
температура и тепловой поток на плоскости 
пластины, а 
соответствующие величины на плоскости 
Тогда, если заданы любые две из этих четырех величин, то можно определить 
следовательно, оставшиеся две величины из 
легко выразить через первые две. В частности,
где
Из уравнений (7.5) и (7.6) следует, что
Решая уравнения (7.4), получаем
Существенно ново здесь то, что уравнение (6.4) можно рассматривать как матричное уравнение
связывающее две матрицы 
(каждая из двух строк и одного столбца) при помощи следующего простого правила умножения матриц: если 
элемент 
строки и 5-го столбца в матрице 
состоящей из 
строк и 
столбцов, 
элемент в матрице 
состоящей из 
строк и 
столбцов, то произведение матриц 
представляет собой матрицу 
из 
строк и 
столбцов, причем элемент 
в ряду 
и столбце 
имеет вид
Например,
Предположим теперь, что мы имеем составную пластину, состоящую из 
слоев, 
слой которой характеризуется толщиной 
коэффициентом теплопроводности 
коэффициентом температуропроводности 
и величинами 
на его левой и правой поверхностях соответственно. Тогда в случае идеального теплового контакта между плоскостями слоев повторное применение уравнения (7.9) дает
где 
определяются из формул (7.5) и (7.6) для отдельных слоев. Умножение матриц в соотношении (7.12) можно производить последовательно при помощи формулы (7.11). Таким способом можно записать точные формулы для пластины, состоящей из 
слоев, но они оказываются исключительно сложными. Ценность данного метода заключается в том, что он позволяет очень легко получить числовые величины для частных случаев, подставляя численные значения 
в (7.12) и умножая числовые матрицы.
Если между слоями пластины или на поверхностях имеются контактные сопротивления, то их также можно представить в виде матриц и включить в произведения (7.12). Например, если контактное сопротивление между первым и вторым слоем равно 
то
или
Отсюда, например,
Конечный результат этих вычислений представляет собой два линейных соотношения, связывающих температуры и тепловые потоки 
на двух поверхностях составной пластины. Граничные условия дадут еще два соотношения, и поэтому мы сможем найти четыре величины. В случае необходимости температуру в пределах любого слоя можно определить из формулы (7.1).
В качестве простого примера рассмотрим пластину 
в которой на границе 
теплообмен отсутствует, а на границе 
с термическим сопротивлением 
происходит теплообмен со средой, температура которой меняется по закону 
Тогда, если 
температура и тепловой поток при 
температура и тепловой поток во
внешней среде, то из (7.14) и (7.9) следует, что
Отсюда
Вводя временной множитель 
и беря действительную часть, получим решение, которое согласуется с решением (12.7) данной главы.
