§ 3. Решение уравнения теплопроводности методом преобразования Лапласа

Предположим, что нам надо решить следующее уравнение для линейного потока тепла:

при условиях

Применим к уравнению (3.1) преобразование Лапласа, т. е. умножим обе его части на и проинтегрируем по в пределах от до Это дает

Используя соотношения (2.2) и (2.3) предыдущего параграфа, получим

Таким образом, преобразование Лапласа свело дифференциальное уравнение с частными производными к обыкновенному дифференциальному уравнению (3.5). Полученное этим путем уравнение для мы всегда будем называть вспомогательным уравнением. Преобразуя аналогичным образом граничные условия (3.3) и (3.4), получим

Изображение (т. е. преобразование Лапласа решения задачи известно, если решено вспомогательное уравнение (3.5) при граничных

условиях (3.6) и (3.7). Перед тем как перейти к методам нахождения из следует отметить, что более общие дифференциальные уравнения (например, уравнение (10.5) гл. IV) и более общие граничные условия (например (9.14) гл. I) приводят точно таким же путем к обыкновенному дифференциальному уравнению с граничными условиями при следовательно, к величине

Если мы имеем более одной пространственной переменной, например если дифференциальное уравнение

нужно решать в некоторой области с начальным условием и заданными граничными условиями, то найденное описанным выше путем вспомогательное уравнение имеет вид

т. е. остается дифференциальным уравнением в частных производных, но с тремя переменными вместо четырех.

Предположим теперь, что вспомогательное уравнение решено при соответствующих граничных условиях и, следовательно, известна зависимость от (и пространственных переменных). Тогда требуется по найти как функцию времени, что и будет служить решением исходной задачи.

Проще всего найти по таблице изображений и подобрать соответствующую функцию от Таким путем очень просто можно решить целый ряд задач с линейным потоком. Соответствующие примеры приведены в двух следующих параграфах.

Если изображения в таблице нет, то определяется из при помощи теоремы обращения преобразования Лапласа. Согласно этой теореме

где у должна быть настолько большой величиной, чтобы все особые точки лежали слева от линии В соотношении (3.8) мы заменили на для того, чтобы подчеркнуть, что в этом соотношении мы рассматриваем поведение функции считая ее функцией комплексного переменного, тогда как ранее вообще не должно было быть комплексной величиной.

Соотношение (3.8) будет справедливым только в том случае, если функции или удовлетворяют определенным условиям; однако здесь нет необходимости рассматривать ни эти условия, ни доказательство самой теоремы, поскольку в ходе изложения были сделаны другие предположения, например, что имеет изображение, что последовательность операций дифференцирования и интегрирования в соотношении (2.3) предыдущего параграфа можно изменить и т. д. Таким образом, с точки зрения чистой математики необходимо проверить, удовлетворяет ли полученное решение дифференциальному уравнению и начальному и граничному условиям данной задачи. Эту проверку

проще всего выполнить при помощи контурного интеграла (3.8). Метод проверки рассматривается в приложении 1. Все полученные здесь решения можно проверить приведенным там способом.

После нахождения решения в виде контурного интеграла (3.8), его обычно можно привести к вещественному виду одним из двух стандартных методов.

1). Если является однозначной функцией с рядом полюсов, лежащих вдоль отрицательной вещественной оси (возможны и другие полюсы), мы замыкаем контур большой окружностью с радиусом не проходящей ни через один полюс подынтегральной функции (рис. 39).

Во всех рассматриваемых здесь задачах можно показать, что интеграл по большой окружности при в пределе равен нулю (дальнейшее изложение этого вопроса дано в приложении 1). Таким образом, согласно теореме Коши, интеграл (3.8) равен в пределе произведению на сумму вычетов относительно полюсов его подынтегральной функции. Этот случай обычно встречается в задачах теплопроводности в ограниченных областях.

Рис. 39.

Рис. 40.

2) В задачах теплопроводности для полуограниченных областей обычно имеет точку ветвления при . В таких случаях используется контур, показанный на рис. с «разрезом» вдоль отрицательной вещественной оси, так что является однозначной функцией на контуре и внутри него. Можно показать, что в пределе, по мере стремления радиуса большой окружности к бесконечности, интеграл по контуру стремится к нулю, и интеграл (3.8) заменяется двумя несобственными интегралами по отрицательной вещественной полуоси, полученными из интегралов вдоль и возможно, что к ним добавляется вклад от интеграла по малой окружности с центром в начале координат, а также вклады от любых полюсов подынтегральной функции.

Если функция не принадлежит ни к одному из указанных выше типов, то для ее рассмотрения должны быть разработаны специальные методы.