§ 14. Упрощение общей задачи теплопроводности

В данном параграфе будет изложено несколько классических методов, которые приводят общие задачи теплопроводности к более простым. Следует отметить, что при использовании преобразования Лапласа (см. гл. XII—XV) применять их не нужно, так как все задачи решаются одним и тем же способом.

I. Условия на поверхности, не зависящие от времени.

Предположим, что требуется удовлетворить уравнению

внутри твердого тела при в начальный момент и на поверхности. Пусть

где и является функцией только и удовлетворяет уравнению

и

a w есть некоторая функция которая удовлетворяет уравнениям

и

Ясно, что заданная выражением (14.2), удовлетворяет всем условиям задачи и, таким образом, решение последней сводится к решению двух задач. Одна соответствует случаю установившейся температуры, а другая — случаю неустановившейся температуры при заданной начальной температуре и нулевой температуре на поверхности. Случай линейной теплопередачи с поверхности в среду при постоянной температуре можно упростить подобным же образом.

II. Условия на поверхности являются заданными функциями времени. Источники тепла отсутствуют.

В данном случае решение можно вывести из решения задачи для постоянных условий на поверхности, используя для этой цели теорему Дюамеля [92], которая формулируется следующим образом.

Если соответствует температуре в момент времени в точке твердого тела, начальная температура которого равна нулю, а температура на поверхности равна то решение задачи в случае начальной температуры, равной нулю, и температуры на поверхности, равной записывается в виде

Приведем доказательство этой теоремы.

Если температура на поверхности равна нулю в промежуток времени от до и равна в промежуток от то можно сказать, что начальная температура равна нулю, а температура на поверхности равна следовательно, в момент времени температура тела равна следующей величине:

Таким образом, если температура на поверхности равна нулю в промежуток времени до и равна в промежуток от до то для можем написать

Кроме того, если температура на поверхности равна нулю в промежуток времени от до и равна в промежуток от до то для получим

Отсюда следует, что если температура на поверхности равна нулю в промежуток времени от до равна в промежуток от до и равна нулю в промежуток от до то мы получим

или окончательно

Таким путем, разбивая интервал от до на малые интервалы и затем суммируя полученные результаты, мы находим решение задачи для случая температуры на поверхности, равной в виде

Соответствующая теорема для случая теплообмена с поверхности по линейному закону формулируется следующим образом.

Если соответствует температуре в момент времени в точке твердого тела, начальная температура которого равна нулю, а на поверхности происходит теплообмен со средой, имеющей температуру решение задачи в случае начальной температуры, равной нулю, и температуре среды, равной записывается в виде

Если температура на поверхности или температура среды, с которой происходит теплообмен, не изменяется от точки к точке, а зависит только от времени, то получаемые результаты можно сформулировать в следующей несколько более простой форме.

Если соответствует температуре в момент времени в точке твердого тела, начальная температура которого равна нулю, а поверхность поддерживается при температуре, равной единице в случае теплообмена поверхности с окружающей средой последняя имеет температуру, равную единице), то решение задачи при условии, что поверхность поддерживается при температуре (или что происходит теплообмен со средой, имеющей температуру записывается в виде

Это соотношение сразу же получается из приведенного выше, так как принимает более простую форму

Возвращаясь снова к общей задаче с переменной температурой на поверхности, попытаемся решить уравнение (14.1) при в начальный момент и на поверхности. Ему удовлетворяет функция где

и

Уравнения для мы только что разобрали, а уравнение для и мы рассмотрели в примере Задачи с другими граничными условиями можно разобрать аналогичным способом.

В самом деле, уравнение (14.8) справедливо и в более общих случаях, чем указано выше. Например, рассмотрим дифференциальное уравнение

причем и могут быть функциями Согласно §§ 6 и 17 данной главы это уравнение является уравнением теплопроводности для неоднородного анизотропного твердого тела, в котором в единице объема в единицу времени выделяется количество тепла, равное Предположим, что граничные условия записываются в виде

где функции только Предположим также, что начальное условие имеет вид

Теперь пусть служит решением той же задачи, но при условии, что заменены т. е. значениями этих функций при Тогда решение уравнений (14.17), (14.18) и (14.19) записывается в виде

т. е. в такой же форме, как и уравнение (14.8) при Следует добавить, что полученный результат справедлив и в тех случаях, когда термические характеристики среды имеют разрывы.

III. Случай, когда справедливо уравнение

где постоянная, которая может иметь любой знак. При подстановке выражения

уравнение (14.21) принимает вид

и его можно рассматривать описанными выше методами.

Другим важным случаем, который можно проанализировать даже более простым способом, является случай, описываемый уравнением

где постоянная (которая может иметь любой знак), начальная температура равна нулю, а граничные условия соответствуют либо постоянной температуре, либо

теплообмену на поверхности. Тогда, если и является решением для случая при тех же граничных условиях, то дифференцированием можно проверить, что

удовлетворяет уравнению (14.24) и принятым в данной задаче граничным условиям. Таким образом, решения для этого случая можно получить простым интегрированием полученных выше решений.