§ 6. Ограниченная область (0, l). Применение теоремы обращения

1. Рассматривая снова задачу I предыдущего параграфа, перейдем теперь к определению функции по ее изображению (5.1), т. е. по

Согласно теореме обращения (см. (3.8) данной главы)

где величина должна быть настолько большой, чтобы все особые точки лежали слева от линии Здесь и везде далее будем полагать

где берется главное значение квадратного корня.

Функция имеет простые полюсы при и при тех значениях при которых обращается в нуль. Эти значения определяются соотношениями

Иными словами,

Напомним, что

является однозначной функцией ; отсюда следует, что тоже является однозначной функцией и мы можем использовать контур, показанный на рис. 39, большая окружность которого не должна проходить ни через один из полюсов (6.5) подынтегральной функции. Например, можно взять радиус этой окружности равным где любое большое целое число.

Из теоремы Коши следует, что интеграл по замкнутому контуру равен произведению на сумму вычетов относительно полюсов подынтегральной функции внутри контура.

Легко показать (см. приложение 1), что по мере стремления радиуса большой окружности к бесконечности интеграл по дуге этой окружности стремится к нулю. Таким образом, в пределе интеграл (6.2) равен произведению на сумму вычетов его подынтегральной функции относительно полюсов и функции (6.5). Вычет относительно равен единице. Вычет относительно полюса равен следующей величине:

Подставляя эти выражения в (6.2), мы, наконец, получаем

Если при температура является функцией времени то вместо (6.1) получим

В данном случае мы находим функцию изображение которой имеет вид

и используем равенство (2.10) данной главы. Применив, как и выше, контур, доказанный на рис. 39, получим

Таким образом, как и в (5.3) гл. III, получим из (2.10) данной главы соотношение

При линейном увеличении температуры поверхности или ее гармоническом изменении лучше всего находить непосредственно по

II. Задача, совпадающая с задачей II предыдущего параграфа, а именно: область имеет нулевую начальную температуру. При плоскость поддерживается при нулевой температуре, а плоскость при температуре Здесь определяется выражением (5.5) данной главы; воспользовавшись теоремой обращения, получаем

Полюсы подынтегральной функции (6.8) находятся при с вычетом а также при

т. е.

с вычетом

Таким образом, используя, как и раньше, рис. 39, находим

Пусть общее количество тепла на единицу поверхности, проходящее через плоскость за промежуток времени от до равное

Тогда из соотношений (5.5) и (2.4) данной главы получим

Отсюда

В последнем соотношении подынтегральная функция имеет полюс второго порядка при с вычетом

Другие полюсы определяются выражением (6.9), и, действуя, как и прежде, мы найдем

При больших значениях времени члены в этом выражении, содержащие показательные функции, пренебрежимо малы и имеет значение, соответствующее стационарному потоку для времени Путем измерения т. е. запаздывания наступления стационарного состояния, можна экспериментально определить величину х [22, 23]. Если мы хотим найти только эту величину, нужно знать лишь вычет (6.13) относительно полюса Дальнейшее обсуждение этого метода изложено в § 6 гл. XV.

III. Область с нулевой начальной температурой. При плоскости поддерживаются при нулевой температуре. При в единице объема за единицу времени выделяется количество тепла, равное

В данном случае дифференциальное уравнение имеет вид

Поэтому вспомогательное уравнение записывается следующим образом:

Его следует решать при условии, что когда Решение имеет вид

Таким образом,

Полюсы подынтегральной функции находятся в следующих точках: вычет равен

вычет равен

Если окажется, что а имеет нулевое аначение или одно из значений то при а имеется полюс второго порядка и необходимо произвести отдельный расчет. Если это не имеет места, то мы окончательно получим

Подобным же образом можно рассмотреть случай с выделением постоянного количества тепла в единицу времени. Решение для случая выделения в единицу времени количества тепла, являющегося какой-либо произвольной функцией времени, получается так же, как и (6.7) из соотношения (2.10) данной главы.

IV. Граничное условие третьего рода.

В качестве примера рассмотрим задачу IV предыдущего параграфа. По значению из (5.9) данной главы находим при помощи теоремы обращения решение в виде

Здесь полюсы подынтегральной функции находятся при с вычетом и при

где корни (все простые и вещественные, см. § 10 гл. III) уравнения

или

Чтобы найти вычеты относительно этих полюсов, необходимо выполнить следующие вычисления:

Воспользовавшись этим результатом в (6.21), окончательно получим

Это решение было уже найдено в § 11 (см. соотношение (11.12) гл. III). Подобным же образом можно получить все результаты §§ 11-13 гл. III.

V. Другие граничные условия. Контакт с хорошо перемешиваемой жидкостью.

В примере Е § 9 гл. I было отмечено, что задачи, в которых поверхность твердого тела соприкасается с хорошо перемешиваемой жидкостью, имеют определенное практическое значение. Задачи этого типа для пластины проще всего решать обычным методом с использованием преобразования Лапласа. Классические методы не всегда можно использовать в неизменной форме. В § 13 гл. III уже было дано несколько решений без доказательства.

В качестве примера, поясняющего новые особенности таких задач, рассмотрим следующую задачу:

Область тепловой поток на плоскости отсутствует. Плоскость соприкасается с хорошо перемешиваемой жидкостью с удельной теплоемкостью с, причем на единицу поверхности этой плоскости приходится масса жидкости, равная Между жидкостью и поверхностью твердого тела происходит теплообмен, и количество тепла, которое отдает жидкость твердому телу в единицу времени, равно произведению на разность температур между ними. Начальная температура жидкости равна а твердого тела — нулю.

Обозначим температуру жидкости через а температуру твердого тела через тогда граничные условия (9.14) и (9.16) гл. I при запишутся в виде

Функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

и граничное условие при имеет вид

Начальные условия записываются в виде

и

Составляя обычным путем вспомогательные уравнения, соответствующие дифференциальному уравнению и начальным и граничным условиям, получим

Поскольку в граничное условие (6.25) входит член с в правой части (6.26) появляется член содержащий начальное значение .

Решая приведенные выше уравнения обычным путем, получим

где находят теперь обычным путем при помощи теоремы обращения. Так

где положительные корни уравнения