§ 5. Установившийся периодический режим

Во многих практических задачах тело подвергается воздействию периодического изменения температуры или тепловых потоков; тогда желательно найти установившийся периодический режим, наступающий после затухания переходных процессов, на которые влияют начальные условия. Это можно сделать путем разложения заданной температуры по компонентам Фурье и их последующего раздельного рассмотрения, как в § 6 гл. III. Однако на практике получающийся ряд Фурье медленно сходится вблизи наиболее интересных значений времени, и для нахождения более удобных форм решения долгое время использовались такие же приемы, как и в § 6 гл. III и § 8 гл. IV.

Один из удобных методов нахождения таких решений заключается в применении преобразования Лапласа. Излагаемый ниже метод почти точно совпадает с методом операционного исчисления [29—31] для установившихся состояний, но не предполагает предварительного знакомства с ним.

Для определенности рассмотрим только наиболее важный случай, а именно волны прямоугольной формы; аналогичным путем можно исследовать и другие случаи. При расчете мы предполагаем, что при температура или тепловой поток меняется по периодическому закону, а начальная температура твердого тела равна нулю. Таким образом, температуру или тепловой поток,

воздействующий на тело, можно представить в виде функции

Например, пусть поток, равный в течение времени и нулю в течение и т. д., т. е. период функции равен Из теоремы VIII § 2 гл. XII следует, что

Для пояснения метода рассмотрим задачу, которую мы уже обсуждали в § 6 гл. III, именно: при область имеет температуру а при температуру

Как и выше (см. § 6 гл. XII), используя (5.2), получим

или

Вначале нужно найти значения в первый период после Из формулы (5.4) данной главы, (6.10) гл. XII и теоремы VII § 2 той же главы следует, что

Эти решения, конечно, можно было получить и в гл. XII, и пока мы еще не видим их очевидной связи с решением для установившегося периодического режима.

Для его нахождения применим к выражению (5.3) теорему обращения

где, как обычно, Подынтегральная функция в (5.7) имеет простой полюс в точке который дает член и простые полюсы при

которые в свою очередь дают ряд членов, описывающих колебания с периодами Они составляют ряд Фурье для установившейся периодической части решения (температуры); ее мы сейчас не определяем; обозначив через ее величину, мы затем будем искать ее в более удобной форме.

Наконец, подынтегральная функция имеет еще ряд полюсов при

Определяя вычеты относительно этих полюсов и комбинируя найденные результаты, мы получим решение, содержащее члены, дающие установившуюся периодическую его часть, и члены, дающие переходную часть

Итак, (5.10) служит общим решением, справедливым для всех значений времени; поэтому оно должно совпадать с решением (5.5), если и с решением (5.6), если Таким образом, приравнивая (5.10) и (5.5), мы получаем при соотношение

Поскольку левая часть в формуле (5.11) является периодической функцией с периодом отсюда следует, что правая часть представляет собой ее значение а в момент времени где любое целое число. Аналогичным образом, используя (5.6), получим, что установившаяся температура в момент где равна следующей величине:

Эти решения согласуются с решениями (6.17), (6.19) гл. III, полученными при помощи теоремы Дюамеля. Ниже мы приведем другие решения того же типа.

I. Полуограниченное твердое тело поверхность нагревается пульсирующим тепловым потоком

В этом случае температура поверхности в конце концов становится равной

Она складывается из периодической части накладывающейся на возрастающую температуру, обусловленную средним потоком на поверхности, равным Величина через промежуток времени после начала периода нагрева имеет следующее значение:

где

Интегралы (5.16) взять сравнительно легко. Некоторые их значения приведены в [33].

II. Пульсирующий точечный источник в неограниченной среде.

Пусть в начале координат находится источник мощностью (на единицу длины) Тогда при достижении установившегося режима температура на расстоянии от начала координат через время после начала периода нагрева равна где периодическая часть имеет вид

где

III. Пульсирующий линейный источник в неограниченной среде.

Предположим, что вдоль некоторой прямой расположен линейный источник тепла мощностью (на единицу длины) Тогда при больших значениях времени температура на расстоянии от этой прямой равна

где периодическая часть при в свою очередь равна

Величины и С определены выше в примере II.