§ 6. Полуограниченное твердое тело. Температура поверхности является гармонической функцией времени

Задачи о теплопроводности твердого тела с периодически, изменяющейся температурой на поверхности представляют весьма большой практический интерес. Подобные задачи встречаются в следующих случаях: а) при исследовании колебаний температуры коры Земли, периодически нагреваемой Солнцем (см. § 12 настоящей главы); б) при работе на различных экспериментальных установках для определения температуропроводности (см. § 12 настоящей главы, а также §§ 4 и 8 гл. IV); в) при вычислении периодически изменяющихся температур (а следовательно, и соответствующих термических напряжений) в стенках цилиндров паровых машин [14, 15] и двигателей внутреннего сгорания и, наконец, г) в теории автоматических систем регулировки температуры.

Если температура на поверхности полуограниченного тела задается выражением а начальная температура равна нулю, то из (5.1) следует, что наше решение запишется в виде

Как мы знаем,

и поэтому (6.1) можно записать в следующей форме:

Второй член в правой части соотношения (6.2) соответствует нестационарному возмущению, обусловленному началом колебаний температуры поверхности в момент времени при достаточно большом этот член

исчезает. Оставшийся первый член соответствует установившимся колебаниям с периодом Прежде чем приступить к дальнейшему обсуждению, приведем другой вывод [16, 17], в котором мы будем исходить из дифференциального уравнения

Будем искать решение уравнения (6.3) в виде

где функция только х. Это решение должно иметь период, равный Подставляя (6.4) в (6.3), мы находим, что и должно удовлетворять уравнению

Уравнение (6.5) имеет следующее решение, ограниченное при

Таким образом, решения уравнения (6.4) с периодом запишутся

или

где

решение, которое при соответствует величине имеет вид

Соотношение (6.8) представляет температурную волну с волновым числом и длиной волны которая определяется выражением

где частота, равная

Для типичных горных пород, для которых длина волны приблизительно равна 2,7 см при частоте 1 колебание в 1 мин, при 1 колебании в 1 день и при 1 колебании в 1 год. Для металлических проводников, для которых длина волны равна 3,5 см при 1 колебании в 1 сек и 27 см при 1 колебании в 1 мин, а для металлов при температуре, близкой к абсолютному нулю, для которых х равно по порядку величины 104, длина волны равна 11 см при 1000 колебаниях в 1 сек. Эти данные очень важны для измерений методами, основанными на периодическом нагреве. Обычно наблюдения проводят на расстоянии порядка длины волны, что и определяет требуемую частоту. Использование области звуковых частот для металлов при очень низких температурах привело в последнее время к значительному развитию этих методов [18].

Перечислим важнейшие свойства периодической функции температуры в установившемся режиме.

1. Амплитуда колебаний температуры уменьшается по закону

и, следовательно, падает тем быстрее, чем больше Если на поверхности тела задать температуру в виде ряда Фурье (см. (6.17)), то по мере перемещения внутрь тела более высокие гармоники исчезают чрезвычайно быстро. На расстоянии одной длины волны амплитуда уменьшается в раз и, значит, волны очень быстро затухают. Отсюда следует, что для полуограниченного тела данное решение можно использовать для проводника, толщина которого составляет одну или две длины волны.

2. Фаза температурной волны запаздывает по закону

Рис. 6. Изменение температур на различных глубинах тела при температуре поверхности, являющейся гармонической функцией времени.

Это запаздывание увеличивается с возрастанием со.

3. Температурные колебания (например, положение максимума и минимума температуры) распространяются внутри твердого тела со скоростью

Из выражений (6.10), (6.11) и (6.12) следует, что для определения температуропроводности достаточно измерить амплитуды или фрзы волны на расстоянии х или скорость распространения волны.

Тепловой поток на поверхности исследуемого тела равен следующей величине:

Таким образом, в установившемся режиме температура в полуограниченном твердом теле, которое нагревается в результате поступления на его поверхность периодически изменяющегося теплового потока выражается в виде

Амплитуда данной функции содержит термические параметры в комбинации что позволяет измерить эту величину.

В соотношение (6.8) входят безразмерные параметры

Следовательно, если мы выберем начальный момени времени так, чтобы то соотношение (6.8) можно записать в виде

На рис. 6 приведен график зависимости от для величин равных По мере возрастания увеличивается как отставание по фазе, так и затухание амплитуды, что отмечалось уже выше.

Рис. 7. Распределение температур по глубине тела в различные моменты при температуре поверхности, являющейся гармонической функцией времени.

На рис. 7 представлен график зависимости от для величин равных Эти кривые показывают распределение температур по глубине тела в различные моменты времени. Семейства кривых, аналогичных указанным на рис. 6 и 7, часто получаются как результаты экспериментов (см. ссылки в § 12 настоящей главы).

Если температура поверхности является периодической функцией времени с периодом то мы можем получить решение нашего уравнения, разлагая эту функцию в ряд Фурье:

Используя формулу (6.8), получим решение в виде

при условии, что, как и раньше, мало.

В качестве примера рассмотрим случай, когда температура поверхности задается следующим образом:

Тогда

Отсюда следует, что при установившемся состоянии периодически изменяющуюся температуру можно записать в виде

На рис. 8 представлен график зависимости от для величин равных . На графике ясно видно, как по мере продвижения в глубь твердого тела более высокие гармоники исчезают и «прямоугольная» волна постепенно становится синусоидальной.

Рис. 8. Изменение температур на различных глубинах тела при температуре поверхности, описываемой «прямоугольной» волной.

Наконец, можно указать на аналогию с теорией передающих линий. Для общности мы рассмотрим стержень с сечением при отсутствии потерь тепла с боковой поверхности. В этом случае температура и тепловой поток в стержне должны удовлетворять уравнениям

Эти уравнения совершенно идентичны уравнениям, которым удовлетворяют потенциал и ток I в передающей линии с последовательным сопротивлением и параллельным емкостным сопротивлением на единицу длины, а также в линии с нулевой индуктивностью и неидеальной изоляцией («подводный кабель»).

Теория такой линии в установившемся периодическом режиме хорошо известна и ею можно сразу же воспользоваться. Это означает, что усложненную термическую схему можно описать методами теории электрических цепей. При выбранных нами обозначениях последовательный импеданс на единицу длины линии запишется в виде а шунтирующий адмиттанс — в виде Характеристический импеданс линии задается соотношением

а постоянная распространения соотношением

Величины в любой точке полуограниченной линии получаются из выражений

Эти результаты совпадают с полученными нами ранее (см. (6.8) и (6.13)). Данный метод был очень подробно разработан Маркусом [20], который использовал методы, развитые в теории волноводов, для исследования влияния изменения поперечного сечения проводника на температурную волну.