§ 8. Составные твердые тела
Задачи теплопроводности в составных твердых телах обычно лучше всего решаются методом преобразования Лапласа. Как изображения, так и решения могут оказаться достаточно сложными, однако при этом не появляется никаких новых правил. В § 15 гл. II изучалось несколько задач, в которых рассматривается составное твердое тело. Их можно также решать данным методом. Здесь будут рассмотрены полуограниченные и конечные составные области.
Рассмотрим сначала полуограниченную область — 
в которой при 
находится одно вещество, а при 
другое. Обозначим теплопроводность, плотность, удельную теплоемкость, коэффициент температуропроводности и температуру в области 
через 
а соответствующие величины в области 
через 
Требуется найти решения следующих дифференциальных уравнений:
Если допустить, что на поверхности раздела 
контактное тепловое сопротивление отсутствует (ср. пример Ж § 9 гл. I), то граничные условия запишутся в виде
I. Для описанного выше твердого тела с нулевой начальной температурой и плоскостью 
поддерживаемой при 
при постоянной температуре, вспомогательные уравнения имеют вид
где
Эти уравнения должны быть решены при условиях
Решение уравнения (8.3), удовлетворяющее условию (8.7), имеет вид
решение уравнения (8.4), удовлетворяющее условию (8.8), имеет вид
Неизвестные 
находят из (8.6), и окончательно мы получим
здесь используются следующие обозначения:
Для оценки 
можно использовать либо теорему обращения, либо метод разложения в ряд, описанный в § 5 данной главы. Согласно теореме обращения можно написать
где 
Подынтегральная функция в соотношении (8.12) имеет при 
точку ветвления; поэтому, как и в предыдущем параграфе, мы используем контур, изображенный на рис. 40; тогда интеграл в (8.12) окажется равным сумме интегралов по малой окружности с центром в начале координат и по прямым 
и 
Интегрируя по малой окружности, получаем 
Полагая, что на 
а на 
получим, что вклад со стороны 
и 
равен
Таким образом,
Аналогичным образом получим
Изложенный в § 5 данной главы метод дает решение в форме, которая зачастую оказывается более удобной. Используя обозначения (8.11), можно из (8.10)
получить
Из (8) приложения 
следует, что
Подобным же образом
Используя (7) приложения 5, таким же путем находим градиент температуры на поверхности в виде
Для очень больших значений времени все показательные функции в (8.18) можно заменить единицей, и мы приближенно получим
Если поверхность поддерживается при нулевой температуре, а начальная температура всего твердого тела равна V, то, очевидно, что градиент температуры при 
будет равен написанному выше выражению с обратным знаком. Этот результат был использован Перри и Хевисайдом при определении возраста Земли. Кельвин в своей классической работе (см. § 14 гл. II) установил, что градиент температуры равен 
Теперь известно, что плотность и физические свойства ядра Земли значительно отличаются от соответствующих величин для наружной оболочки. Приняв это, мы увидим, что время, необходимое для уменьшения температурного градиента до существующего в настоящее время уровня, в 
Раз больше времени, получающегося из теории Кельвина. По данным, принятым Перри и Хевисайдом, это отношение примерно равно 450, и оценку Кельвина, равную 108 лет, следует увеличить до 
лет.
Представляет некоторый интерес случай малого 
т. е. случай тонкой пленки иного материала, находящейся на поверхности полуограниченного твердого тела. Разлагая гиперболические функции в знаменателе решения (8.10) по возрастающим степеням 
найдем
Учитывая только первую степень I, получим
где 
Это равно значению 
полученному с учетом приближенного граничного условия (9.7) гл. I, в котором мы полностью пренебрегали теплоемкостью пленки. Во втором приближении, учитывающем также член с 
получим
где 
Изображения такого типа появлялись в примере III § 4 данной главы. Выражение (8.21) является изображением решения задачи о полуограниченном твердом теле с нулевой начальной температурой и граничным условием в виде
Таким образом, это условие можно считать приближенным граничным условием, учитывающим теплоемкость пленки.
II. Описанное выше составное твердое тело с нулевой начальной температурой" При 
в области 
в единицу времени на единицу объема выделяется постоянное количество тепла 
В области 
тепло не выделяется. Плоскость 
поддерживается при нулевой температуре.
В данном случае, используя обозначения (8.11), получим следующие решения:
или
или
III. Пластина конечных размеров. Область пластины — 
содержит материал с параметрами 
а область 
другой материал, с параметрами 
Начальная температура равна нулю. При 
плоскость 
поддерживается при постоянной температуре V, а плоскость 
нулевой температуре.
Вспомогательными уравнениями здесь служат уравнения (8.3) — (8.7), но условие (8.8) заменяется на условие
Решая эти уравнения, находим
Разложение этих выражений в ряды типа (8.15) довольно сложно, и поэтому мы рассмотрим только решения, получаемые при помощи теоремы обращения. В данном случае подынтегральные функции являются однозначными функциями 
с простыми полюсами при 
где 
корни уравнения
Применяя обычным образом теорему обращения, найдем
Ряды в решениях (8.30) и (8.31) можно немного упростить, используя снова (8.29), Следует отметить, что корни уравнения (8.29) служат корнями уравнения
и общими корнями (если вообще они имеются) уравнений
Последние уравнения имеют общие корни тогда и только тогда, когда отношение 
есть рациональная величина. Таким образом, если
есть несократимая рациональная дробь, то общие положительные корни (8.33) равны 
и эти корни уравнения (8.29) дадут для 
соответственно ряды
и
Если дробь 
иррациональна, эти ряды не появятся.
Во всех случаях существует ряд членов, соответствующих положительным корням 
уравнения (8.32).
Воспользовавшись уравнением (8.32), можно представить члены рядов (8.30) и (8.31), соответствующие этим корням, в виде
и
соответственно для 
.
IV. Характер корней уравнения (8.32) и уравнений, появляющихся в аналогичных задачах.
При получении решений в виде бесконечных рядов с помощью теоремы обращения мы обычно еще должны доказать, что все корни определенного трансцендентного уравнения действительны и просты. В примере III таким уравнением было уравнение (8.32); в задаче о твердом теле в виде составного шара им является уравнение (9.35) гл. XIII; в случае более общих граничных условий появляются другие типы уравнений, например уравнение (9.25) гл. XIII и т. п.
В § 9 гл. III было исследовано очень простое уравнение. Обобщение примененного там метода [27, 38] можно использовать во всех случаях. Здесь же в качестве примера мы рассмотрим уравнение (8.32).
Очевидно, что оно не может иметь чисто мнимого корня 
так как
Покажем теперь, что оно не может иметь комплексного корня вида 
Рассмотрим функцию 
определяемую следующим образом:
где 
корень уравнения (8.32).
В таком случае получим
Кроме того,
и
так как 
корень уравнения (8.32).
Пусть теперь 
— два различных корня уравнения (8.32), и пусть 
и 
величины, соответствующие величинам 
при замене 
на а.
Тогда из соотношений (8.41) и соответствующих уравнений для 
и 
получим
Отсюда, используя соотношения (8.42) и (8.43), находим
Из последнего соотношения следует, что 
не могут иметь вид 
поскольку 
были бы тогда сопряженными комплексными величинами и величина
была бы положительной.
Таким образом, мы доказали, что все корни уравнения (8.32) являются вещественными. Их симметричное расположение относительно начала координат и то обстоятельство, что они не повторяются, следует в данном случае из рассмотрения кривых 
Другие случаи можно рассмотреть путем обобщения описанного выше метода (см. [38]).
V. Составная пластина из произвольного числа слоев.
При написании изображения любой требуемой функции для общего случая 
слоев трудностей не встречается. Легче всего это сделать при помощи описываемого ниже метода матриц. Вследствие сложности получаемых решений рассмотрение корней знаменателя в изображении решения и численная оценка температур требуют проведения очень сложных вычислений. Следует отметить, что, когда изображение найдено, оно непосредственно дает стационарное периодическое решение; кроме того, в тех случаях, когда рассматриваемая величина имеет прямолинейную асимптоту в виде 
ее легко найти простым хорошо известным численным методом (ср. § 6 гл. XV).
Для определения изображения рассмотрим сначала пластину 
Тогда, если 
изображения температуры и теплового потока в точке х, то из вспомогательных уравнений сразу же получим
или в матричном обозначении, определенном в § 7 гл. III,
Рассмотрим теперь пластину, состоящую из 
слоев, 
Пусть 
теплопроводность и температуропроводность 
слоя, 
изображения температуры и теплового потока на границе этого слоя 
их значения на границе слоя 
Тогда из (8.47) получим
где
и
Если между пластинами имеется идеальный тепловой контакт, то повторное применение (8.49) дает
Если теплопередача происходит по линейному закону, контактные сопротивления равны 
при 
область 
имеет температуру 
а область 
— температуру 
то
а значения для промежуточных точек можно найти затем из уравнений (8.45) и (8.46). Этим способом можно, например, вывести соотношения (8.27) и (8.28).
состоит из одного материала, а область 
из другого. Тепловой поток при 
отсутствует. Начальная температура в области 
постоянна, а в области 
равна нулю.
приведены в статье [39].
