§ 17. Теплопроводность анизотропных твердых тел

Анизотропные среды представляют значительный интерес для практики. Типичными примерами анизотропного вещества служат кристаллы, встречающиеся в природе некристаллические вещества (например, осадочные горные породы или древесина), а также слоистые материалы (например, используемые в технике трансформаторные сердечники).

Для указанных веществ результаты, приведенные в §§ 3 и 4 данной главы, не изменяются, но оказывается недействительным общепринятое положение о том, что направление вектора теплового потока в какой-либо точке нормально к изотерме, проходящей через эту точку. Простейшее основное предположение, обобщающее допущение (5.3) для изотропного тела, заключается в том, что каждая компонента вектора теплового потока в точке является линейной функцией компонент температурного градиента в этой точке, т. е. что

Величины называют коэффициентами теплопроводности; они являются компонентами тензора второго ранга. Уравнения (17.1) можно решить относительно

В этом случае мы получим

где коэффициенты сопротивления. Они могут быть записаны в виде определителей, элементами которых служат величины Например,

где

Аналогичным образом величины можно выразить через Следует отметить, что для некоторых задач наиболее употребительна запись через а Для Других — через Если уравнения (17.2) считать основными, то их можно решить относительно выразив последние через получающийся определитель

равен произведению на присоединенный для А (или взаимный) определитель» Согласно общей теореме [120]

и миноры равны произведению на алгебраические дополнения соответствующих миноров например

В первую очередь следует отметить, что в выражениях (17.1) знаки изменяются, если все компоненты температурного градиента изменяют свои знаки. Иными словами, теплопроводность вещества во взаимно противоположных направлениях одинакова. Для кристаллов с центральной симметрией последнее положение вытекает из соображений симметрии. К этому классу относятся 21 из 32 классов кристаллов. Кристаллы остальных И классов не имеют центра симметрии, и следует считать, что для них уравнение в форме (17.1) подтверждается экспериментами, которые показали примерное равенство теплопроводности во взаимно противоположных направлениях.

Соотношение в форме (17.1) часто применяют для описания связи между двумя векторами в анизотропной среде. Вследствие симметрии кристаллов его легко упростить, выбрав оси в соответствующих кристаллографических направлениях. Результаты, полученные для различных кристаллических систем, приведены ниже; подробное изложение этих вопросов можно найти в § 4 гл. I книги Вустера [119].

Триклинная система кристаллов. У прощение невозможно.

Моноклинная система кристаллов. Все классы этой системы имеют либо ось симметрии (такую, что при повороте вокруг нее на 180° кристалл принимает положение, конгруэнтное первоначальному), либо плоскость зеркальной симметрии. Если ось является осью симметрии или нормальна плоскости зеркальной симметрии, то коэффициенты теплопроводности образуют следующую схему:

Ниже будет показано, что, по-видимому, справедливо также равенство но это не вытекает из соображений симметрии.

Ромбическая система. Кристаллы всех классов этой системы имеют либо две перпендикулярные оси симметрии, либо ось симметрии и плоскость симметрии. Если одна из осей координат выбирается вдоль оси симметрии, а другая - вдоль второй оси симметрии или в плоскости симметрии, то схема коэффициентов теплопроводности запишется в виде

Кубическая система. В этом случае возможен циклический обмен осей ромбической системы, и схема коэффициентов теплопроводности примет вид

Тетрагональная, тригональная и гексагональная системы. Если ось является осью симметрии третьего, четвертого или шестого порядка, т. е. соответствует поворотам на 90°, 120° или 60°, то мы получим следующую схему коэффициентов теплопроводности:

Кроме того, в кристаллах некоторых классов этих систем имеется ось симметрии, перпендикулярная оси или соответствующая плоскость симметрии; если ось х выбрана так, что она совпадает с этой осью или лежит в этой плоскости, то в выражении Существует несколько классов, принадлежащих к таким системам, для которых равенство нулю вытекает не только из соображений симметрии; однако, как будзт показано ниже, это соотношение, по-видимому, оказывается справедливым.

Все приведенные выше результаты можно вывести из соображений макроскопической симметрии. Но в действительности, вероятно, можно считать, что в выражениях (17.1) симметричны, т. е. Для всех Отсюда следует, что в выражении (17.12) и в выражении (17.9).

Во многих разделах физики кристаллов, в которых встречается закон типа (17.1), классическая термодинамика позволяет сделать вывод о симметричности коэффициентов теплопроводности, т. е. о том, что В данном случае общее доказательство такого положения невозможно, и поэтому, чтобы показать симметричность коэффициентов теплопроводности, следует обратиться к эксперименту. По этой причине математическая теория обычно развивается без использования предположения о симметрии; рассчитав эффекты асимметрии, их сравнивают с экспериментом (см. § 19 данной главы). Недавно было опубликовано доказательство закона симметрии, основанное на принципе Онзагера о микроскопической обратимости [123—126].

Часто приходится пользоваться формулами преобразования координат. Предположим, что мы хотим перейти к новой системе прямоугольных осей направляющие косинусы которых, отнесенные к старой системе, соответственно равньг Тогда коэффициенты теплопроводности отнесенные к системе , запишутся в виде

тогда как будут выражаться через следующим образом:

Эти выражения являются законами преобразования для тензора второго ранга (доказательство и приложение изложены в книге Вустера [119]). Те же законы преобразования применимы и для

Наиболее важным примером некристаллического анизотропного тела является ортотропное твердое тело, которое имеет различные коэффициенты теплопроводности К» в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Приняв их за оси получим

С другой стороны, для таких веществ, как древесина, коэффициенты теплопроводности которой в направлениях системы цилиндрических координат [70] (т. е. в направлении по лучам, кольцам и по оси дерева) неодинаковы, тепловые потоки в указанных направлениях соответственно равны