§ 2. Установившаяся температура. Радиальный поток

Если твердое тело представляет собой полый цилиндр, внутренний и внешний радиусы которого равны соответственно то уравнение (1.1) предыдущего параграфа для распределения температур в теле примет вид

Общее решение этого уравнения имеет вид

где постоянные, определяемые из граничных условий при Поверхность поддерживается при температуре поверхность — при температуре

В этом случае

Величина теплового потока на единицу длины равна

Поверхность поддерживается при температуре На поверхности происходит теплообмен со средой, имеющей температуру и поэтому граничное условие на ней имеет вид

В данном случае

Величина теплового потока на внешней поверхности цилиндра на единицу его длины равна

Если то величина (2.6) непрерывно уменьшается с увеличением Если же то (2.6) имеет максимум при Это означает, что при определенных условиях можно увеличить тепловые потери трубы, окружив ее изолирующим материалом [1].

III. Количество тепла, подводимого в единицу времени внутрь цилиндра на единицу его длины, равно постоянной величине

В данном случае тепловой поток через любой цилиндр не зависит от радиуса цилиндра, так как из (2.1) следует, что постоянно, и мы можем написать

Если температуры при равном соответственно, то, интегрируя (2.7), получим

Справедливость этого соотношения не зависит от способа подвода тгпла и от граничных условий на цилиндрических поверхностях Если тепло подводится с помощью проволоки, расположенной вдоль оси цилиндра, с сопротивлением ом на единицу длины, а сила протекающего по ней тока равна то мы получим

где число калорий в джоуле.

Если коэффициент теплопроводности К зависит от температуры, то соотношение вида (2.8) по-прежнему остается справедливым. Соотношение (2.7) тоже оказывается справедливым; введем теперь

т. е. средний коэффициент теплопроводности для всей области температур от до тогда, интегрируя (2.7), получим

IV. Составной полый цилиндр, состоящий из областей коэффициентами теплопроводности

Если температуры на поверхностях то многократное использование (2.4) показывает, что величина теплового потока, приходящегося на единицу длины системы равна

Следовательно,

Если, кроме того, имеются контактные сопротивления на единицу площади поверхностей температуры внутри и вне составного цилиндра, то мы получим следующее соотношение:

Приведенное выше выражение (2.6) представляет собой простой частный случай (2.13).

V. Выделение тепла в цилиндре.

Если количество выделяемого в единицу времени тепла равно постоянной то для установившегося радиального потока соотношение (6.7) гл. I примет вид

Общее решение (2.14) имеет вид

Для сплошного цилиндра член, содержащий выпадает, и (2.15) примет вид

где температура на оси цилиндра. Если поверхность цилиндра поддерживается при нулевой температуре, то

если же на поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры и коэффициентом теплообмена то

Для полой цилиндрической проволоки, внутренний и внешний радиусы которой соответственно равны а температуры внутренней и внешней поверхностей равны мы получим из (2.15)

Постоянная В определяется из граничных условий. Если, как это обычно бывает, тепловой поток на внутренней поверхности отсутствует, то можно написать

Из (2.19) и (2.20) следует, что

Соотношения (2.16) и (2.21) использовались для определения коэффициента теплопроводности [9—12].

Рассмотрим изолированную проволоку, в которой изолирующий материал с коэффициентом теплопроводности заполняет область окружающую участок проволоки с коэффициентом теплопроводности причем в этом участке количество тепла, выделяющегося в единицу времени на единицу объема, равно Если при происходит теплообмен, т. е.

то решение, полученное из (2.2) и (2.16), примет вид

Если изменение сопротивления проволоки линейно зависит от температуры, то (2.14) заменяется уравнением

где

а — температурный коэффициент сопротивления.

Решение уравнения (2.24), которое является конечным при имеет вид

Если поверхность поддерживается при нулевой температуре, то температура тела в зависимости от выражается следующим образом:

где определяется в приложении 3.

Для полого цилиндра поверхность которого поддерживается при нулевой температуре, при отсутствии теплового потока через поверхность температурное поле записывается в виде

VI. Методы с использованием горячей проволоки [13].

Для измерения коэффициента теплопроводности газов и плохих проводников были использованы различные комбинации (2.4) и результатов, полученных методом Каллендера [14, 15]. Как и в пункте II § 11 гл. IV, проволоку радиусом а и длиной 21 нагревают электрическим током и измеряют ее электрическое сопротивление. Кольцевую область окружающую проволоку, заполняют веществом, коэффициент теплопроводности которого нужно измерить; при этом температуру внешних поверхностей а также поддерживают равной нулю.

Пусть температура проволоки в точке х (предполагается, что она постоянна по всему поперечному сечению, как и в § 10 гл. IV), а поток в области радиален; если предположить, кроме того, что на поверхности раздела а между проволокой и окружающей средой изменение температуры происходит непрерывно, то из (2.4) мы находим

потерю тепла проволокой в точке х в виде

Тогда дифференциальное уравнение, описывающее распространение тепла в проволоке, будет иметь вид (10.4) гл. IV, но вместо члена будет стоять (2.29). Оно исследуется таким же образом, как и в § 11 гл. IV.