§ 7. Ограниченный стержень при наличии теплообмена на его поверхности. Случай неустановившейся температуры

Для стержня постоянного поперечного сечения дифференциальное уравнение (2.2), приведенное в данной главе, имеет вид

где а температура среды с которой происходит теплообмен, равна нулю. Как и в § 2 этой главы, уравнение (7.1) можно решить, заменив на где и должно удовлетворять уравнению

Используя результаты, полученные в гл. III, приведем решения ряда интересных задач.

I. Ограниченный стержень с начальной температурой и температурами концов

В этом случае уравнение (7.2) следует решать при следующих условиях:

Используя соотношение (5.2) гл. III, получим

II. Ограниченный стержень с начальной температурой На плоскости теплообмен отсутствует Температура в плоскости равна

Используя соотношение (5.3) гл. III и обозначая получим

III. Ограниченный стержень с начальной температурой Теплообмен на концах отсутствует.

Из соотношения (4.6) гл. III следует, что

IV. Ограниченный стержень — с постоянной начальной температурой, равной На боковой поверхности стержня и на его концах происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

Из соотношения (11.12) гл. III следует, что

где служат корнями уравнения

Ограниченный стержень с начальной температурой, равной На боковой поверхности стержня и на его концах происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

Используя соотношение (9.12) гл. III, получим

где

и (при ) служат корнями уравнения

Нейман [31] показал, что это решение можно использовать при определении значений термических коэффициентов. В его методе необходимо знать температуры

Из соотношения (7.9) следует, что при Кроме того, в § 9 гл. III мы показали, что при определим теперь знак

Используя (7.9) и (7.11), находим, что при

но

Следовательно,

Таким образом,

где

Поскольку увеличивается с увеличением для достаточно больших значений мы получим хорошее приближение, ограничиваясь только первым членом в каждом из этих рядов. Тогда мы получим

и

В своих экспериментах Нейман сначала нагревал один конец стержня пламенем, а затем давал ему охлаждаться за счет теплообмена. Спустя некоторое время он начинал определять через равные промежутки времени. Эти наблюдения показали, когда температуры начинают следовать приведенному выше закону. Таким способом находят постоянные и получают два уравнения, из которых можно определить коэффициенты теплопроводности и теплообмена. Однако так как в величины и входит эти расчеты следует производить путем последовательных приближений и они оказываются довольно сложными.

В более простом методе измеряют температуры в средней точке стержня. Как отмечалось в § 10 гл. являются корнями уравнения

а корнями уравнения

Кроме того, при

и

Таким образом,

Итак, из соотношений (7.14) и (7.18) следует, что для больших значений времени

Отсюда мы найдем затем определим из (7.16) и (7.17) соответственно Кроме того, из выражений

определим и после чего можно найти значения