§ 7. Полуограниченное твердое тело. Теплообмен на поверхности в среду с нулевой температурой. Начальная температура постоянна

Когда начальная температура постоянна и равна V, уравнения для имеют вид

Пусть

Тогда

Поэтому на основании соотношения (4.3)

и мы замечаем, что при функция имеет предел

Для определения мы имеем уравнение

Отсюда, интегрируя это уравнение обычным путем, находим

Положив получаем

Однако при имеет пределом V и, кроме того, должно оставаться конечным; поэтому С должно равняться нулю. Следовательно,

решение нашей задачи запишется в виде

Отсюда

Положим во втором интеграле

тогда

Поэтому

где интегралы, определенные в приложении 2.

Температура на поверхности твердого тела которую можно получить, положив в соотношении (7.1), записывается в виде

В приложении 2 приведена краткая таблица значений этой функции. Для больших значений времен величина определяется, согласно выражению (5) приложения 2, по приближенной формуле

Таким образом, по истечении значительного времени после начала охлаждения температуру поверхности можно считать равной

с ошибкой, меньшей, чем

Для задачи о полу ограниченном твердом теле с нулевой начальной температурой, которое нагревается вследствие теплообмена на границе со средой, имеющей температуру V, решение записывается в виде

Это решение можно выразить в виде функции любых двух из следующих безразмерных параметров:

Любая из выбранных пар обладает своими преимуществами. На рис. 9 представлен график зависимости отношения от Для величин равных

В § 9 гл. I отмечалось, что граничные условия третьего рода, характеризующиеся теплообменом на границе, имеют место в различных случаях, а именно при теплоотдаче вследствие вынужденной конвекции или излучения, а также при теплопередаче через тонкую поверхностную пленку. В первых двух случаях величины можно получить из формул, аналогичных приведенным в § 9 гл. I, и тогда температуру полуограниченного твердого тела в любой его точке и в любой момент времени можно найти из соотношения (7.5).

Рис. 9. Распределение температур в полуограниченном твердом теле при теплообмене на его поверхности.

Представляет интерес оценить эффект тонкой поверхностной пленки из плохого проводника и сравнить результаты, полученные из соотношения (7.5) для этого случая, с результатами, найденными в предположении, что поверхность поддерживается при температуре V при всех (см. § 4 настоящей главы).

Граничное условие, требующее постоянной температуры на поверхности исследуемого тела, использовалось в теории теплопроводности значительно чаще, чем любое другое граничноэ условие. Однако на практике оно обычно не выполняется, так как, вообще говоря, при контакт не идеален, и поэтому температура V на этой поверхности устанавливается не мгновенно. Желательно знать, с какими ошибками нам приходится иметь дело в таком случае.

Рассмотрим на твердом теле поверхностные пленки воздуха, вазелина, воды и ртути толщиной величины коэффициента теплообмена указаны в таблице, приведенной на стр. 28. В качестве твердых тел рассмотрим хороший проводник, серебро плохой металлический проводник, висмут и плохой неметаллический проводник, стекло Пусть см во всех трех случаях, а время выберем равным 0,64 сек, 15,7 сек и 189 сек соответственно; тогда для всех трех твердых тел величина равна 0,477, а величина для постоянной температуры поверхности равна 0,5. Ниже приведены величины найденные по формуле (7.5) для различных поверхностных пленок.

(см. скан)

Из этой таблички видно, что в случае хорошего проводника с поверхностной пленкой из плохо проводящего материала влияние пленки оказывается весьма заметным; в случае же плохо проводящего твердого тела влияние поверхностной пленки на результаты становится значительно меньше.