§ 12. Сильно нагретая проволока, по которой протекает электрический ток

Предположение о том, что обусловленная излучением потеря тепла проволокой в окружающую среду пропорциональна разности температур, справедливо лишь для случая, когда эта разность мала: в противном случае следует считать, что потеря тепла элементом проволоки длиной в результате излучения по закону черного тела равна

где - абсолютная температура проволоки, абсолютная температура окружающей среды и постоянная.

Тогда в случае установившегося состояния соотношение (10.1) данной главы следует заменить соотношением

Рассмотрим распределение температур в проволоке длиной на концах которой поддерживается абсолютная температура Достаточно рассмотреть область при условии, что

Первый интеграл уравнения (12.2) записывается в виде

где С — постоянная,

Пусть температура в плоскости Тогда из (12.3) и (12.4) следует, что

Если при то из (12.4) получим

Отсюда, положив находим неизвестную величину

Потеря тепла на концах проволоки равна

Оказывается, что решение этой простой задачи нельзя представить элементарными функциями.

Для полуограниченной проволоки при При этих условиях из уравнения (12.2) получаем, что если

Ясно, что в случае длинной проволоки является хорошим приближением для

При использовании этого приближения (12.8) принимает вид

Если мало по сравнению то приближенно получим

Используя выражение (12.9), можно переписать уравнение (12.2) в виде

Приближенное решение для изменения температуры вблизи центра проволоки может быть получено путем подстановки

в результате которой уравнение (12.12) принимает вид

Если мало, то членами, содержащими можно пренебречь, и это уравнение примет вид

Его решение, в котором используется величина при имеет вид