§ 8. Составная цилиндрическая область

Задачи теплопроводности в случае составных или пустотелых цилиндров кругового сечения легко решаются при помощи преобразования Лапласа, но получаемые решения оказываются довольно сложными [43—48]. Здесь мы рассмотрим два случая неограниченных составных областей.

I. Область (в цилиндрических координатах) содержит материал с термическими коэффициентами а область материал с термическими коэффициентами Начальная температура V в области постоянна, а в области равна нулю.

Обозначим через температуры в обеих областях и запишем вспомогательные уравнения

где

Если принять, что на поверхности контактное сопротивление отсутствует (ср. пример § 9 гл. I), то граничные условия запишутся в виде

Решения следует находить из условий, что при имеет конечное эначение, а при величина ограничена. Искомые решения имеют вид

где

Тогда, используя теорему обращения и контур, показанный на рис. 40, окончательно получим

где

II. Та же область, что и в задаче В обеих областях начальная температура равна нулю. При в области в единицу времени на единицу объема выделяется постоянное количество тепла В этом случае уравнение (8.1) заменяется уравнением

Остальные уравнения не изменяются. Уравнения (8.4) и (8.5) заменяются на уравнения

Решения будут иметь вид

где определены соотношениями (8.9).

Полученные выражения являются точными решениями задач, приближенные решения которых приведены в предыдущем параграфе (см. стр. 337), и поэтому они позволяют проверить в частных случаях пригодность приближений, использованных в этом параграфе.

Нетрудно записать и изображения для температур в составных цилиндрических областях, воспользовавшись для этой цели методом матриц, разработанным в § 8 гл. XII для пластин. Проводимый в данном случае анализ аналогичен анализу, выполненному в § 3 гл. VII, для установившихся температур в составных цилиндрах, причем величина заменяется величиной Решения, пригодные для больших или малых значений времени, можно получить при помощи метода, использованного в §§ 3 и 6 данной главы.