§ 10. Уравнение теплопроводности для тонкой проволоки, нагреваемой постоянным электрическим током

Распределение температур в тонкой проволоке, по которой течет постоянный электрический ток, выведено Верде в 1872 г. [38]. В течение некоторого времени подобный способ нагревания металла применялся мало, несмотря на его очевидные преимущества. Во-первых, электрические измерения можно производить с такой точностью, что в эксперименте становится возможным применять малые разности температур и устранять ошибки, вызываемые зависимостью электропроводности и теплопроводности от температуры.

Во-вторых, при рассмотрении отношения коэффициентов электро- и теплопроводности (отношение Видемана — Франца [43]) очень желательно, чтобы обе эти величины определялись в одном и том же эксперименте.

Выведем сначала уравнение теплопроводности и покажем, как можно использовать установившееся и неустановившееся распределение температур в такой проволоке для определения коэффициентов электропроводности и теплопроводности металлов.

Предположим, как и в § 2 данной главы, что площадь поперечного сечения проволоки, периметр сечения и коэффициент теплообмена. Пусть ток, измеряемый в амперах, электропроводность проволоки. Тогда количество тепла, выделяемое на длине током будет равно

где -число калорий в джоуле. Этот член следует добавить к правой части уравнения (2.2) данной главы, и тогда уравнение теплопроводности примет вид

где

Некоторые другие факторы, важные для экспериментальной работы, можно принять в расчет без значительного усложнения математической теории.

1. Электрическое сопротивление проводника можно считать линейной функцией температуры — это приближение справедливо для узких температурных интервалов. Если а — температурный коэффициент изменения сопротивления, то мы должны только заменить в уравнении (10.1) на

где электропроводность при нулевой температуре.

2. Тепло выделяется в результате эффекта Томсона, причем количество тепла пропорционально току и градиенту температур; таким образом, к правой части уравнения (10.1) следует добавить член

где — коэффициент Томсона. Этот член учитывает направление тока и обращается в нуль, если для нагревания проволоки пользуются переменным током. Коэффициент Томсона зависит от температуры и может иметь любой знак. Обычно нагрев за счет эффекта Томсона мал, и основное значение этого члена заключается в том, что различные методы измерения 5 основаны на дифференциальном уравнении (10.4).

3. Если стержень движется в направлении своей продольной оси со скоростью как и в предыдущем параграфе, то к правой части уравнения (10.1) нужно добавить член

При этих обобщениях уравнение (10.1) принимает вид

Это уравнение линейно относительно и его можно представить в виде

где постоянные. Уравнения подобного вида встречаются во многих областях математической физики (ср. § 13 гл. I). Их всегда можно решить при помощи простого видоизменения классических методов для случая или при помощи метода преобразования Лапласа, изложенного в гл. XII; преимущество последнего заключается в том, что он позволяет «рассматривать все случаи единообразно. Если простые функции от х, то иногда можно найти точное решение.

Рассмотрим, наконец, изменение теплопроводности с температурой. Для ограниченной области температур можно считать справедливым линейный закон

где температурный коэффициент теплопроводности (обычно он отрицателен). В этом случае уравнение (10.4) принимает вид

Уравнение (10.7) не линейно относительно и его исследовали только для случая установившегося состояния, т. е. для Если, кроме того, то с отсутствует, и поэтому нет надобности рассматривать его изменение с температурой.

В следующем параграфе мы рассмотрим ряд способов определения коэффициента теплопроводности с применением дифференциальных уравнений, приведенных в настоящем параграфе. В § 14 данной главы будет рассмотрен случай неустановившегося состояния.