§ 3. Шар с начальной температурой f(r) и температурой поверхности ...

Как и в § 1 данной главы, сделаем подстановку

Тогда уравнения для и записываются следующим образом:

когда когда когда

Эти уравнения сходны с уравнениями теплопроводности для плиты толщиной а, поверхности которой поддерживаются при температурах и соответственно, а начальная температура равна

Решение этой задачи приведено в § 5 гл. III (см. (5.2) гл. III). Используя его, окончательно получим

Ниже приводятся результаты для некоторых важных частных случаев. Для большинства этих случаев приводятся также решения, применимые при малых значениях параметра Нулевая начальная температура. Температура поверхности постоянна и равна

или

Температура в центре, получающаяся из соотношений (3.4) и (3.5) при переходе к пределу при равна

или

Средняя температура шара в любой момент времени равна

или

Теплосодержание шара в любой момент времени равно

На рис. 29 приведены графики зависимости от рассчитанные по формуле (3.4) для различных значений Их можно сравнить с соответствующими кривыми на рис. 24 для цилиндра и кривыми на рис. 11 для пластины. Значения температур в центре и средних температур тел такой формы, рассчитанные по формулам (3.6) и (3.8), приведены на рис. 12.

Рис. 29. Распределение температуры в различные моменты времени в шаре радиуса с нулевой начальной температурой и температурой поверхности, равной Числа у кривых указывают величины

Уравнение (3.8) находит применение в теории запаздывания показаний термометров Предположим, что стеклянный ртутный термометр со сферическим резервуаром, имеющий нулевую температуру в момент вводится в среду с температурой Если пренебречь влиянием движения ртути и термическим сопротивлением стекла, в которое заключена ртуть, то увеличение объема последней, т. е. показание термометра, пропорционально средней температуре (3.8). Аналогичным образом выражение (3.11) соответствует показанию термометра в среде, температура которой увеличивается линейно (например, в снижающемся самолете); очевидно, что в этом случае следует ожидать постоянного запаздывания. Влияние стеклянного резервуара можно учесть с помощью выражения (4.10) данной главы; кроме того, необходимо учитывать расширение стекла.

И. Нулевая начальная температура. Температура поверхности равна

Средняя температура равна

III. Нулевая начальная температура. Температура поверхности меняется по закону

где

Искомое решение получается из соотношения (6.5) гл. III.

IV. Начальная температура постоянна и равна V. Температура поверхности равна нулю.

Искомые решения получаются вычитанием из V соотношений (3.4), (3.5), (3.6), (3.7), (3.8) и (3.9).

V. Начальная температура Температура поверхности равна нулю.

или

VI. Начальная температура Температура поверхности равна нулю.

или

VII. Начальная температура Температура поверхности равна нулю.

VIII. Начальная температура .

IX. Начальная температура в области постоянна и равна V» а в области равна нулю. Температура поверхности равна нулю.

Для области можно также написать

а для области

Решение для случая, когда в области начальная температура равна нулю, а в области постоянна, получается объединением полученного решения с решением для случая постоянной начальной температуры V в области Из этих решений в свою очередь вытекает решение для случая, когда начальная температура в области постоянна, а в областях равна нулю.

X. Начальная температура Температура поверхности равна нулю. Решение методом Фурье дается формулой (3.3). Решение, используемое при небольших значениях имеет вид

XI. Температура поверхности равна нулю. Начальное распределение температур описывается функцией