§ 3. Мгновенные источники; линейный, плоский и поверхностные цилиндрический и сферический источники

Температуры в этих случаях проще всего получить интегрированием фундаментального решения (2.2) данной главы; их можно найти также непосредственно, воспользовавшись любым из способов, рассмотренных в предыдущем параграфе.

I. Мгновенный линейный источник мощностью действующий в момент времени и расположенный на прямой, параллельной оси и проходящей через точку

Рассмотрим распределение мгновенных точечных источников мощностью в точках вдоль прямой. Температура, получающаяся интегрированием соотношения (2.2) предыдущего параграфа, равна

В данном случае количество тепла, выделяемое на единице длины этой прямой, равно

Если полярные координаты соответственно точек и то расстояние между ними определяется выражением

В таких обозначениях решение (3.1) принимает вид

оно вытекает из первого интеграла Вебера [3].

II. Мгновенный плоский источник мощностью действующий в момент времени расположенный в плоскости, параллельной плоскости и проходящей через точку х

В данном случае распределим линейные источники мощностью вдоль прямой Интегрируя (3.1), получим

Количество тепла, выделяемое на единице площади этой плоскости, равно .

III. Мгновенный цилиндрический поверхностный источник мощностью и радиусом действующий в момент времени Ось источника совпадает с осью

Здесь распределим линейные источники мощностью по окружности радиуса В таком случае температура в точке будет равна

следующей величине:

где Решение получается из соотношения (9), приведенного в § 3, 71 книги [3]. Количество тепла, выделяемое на единицу длины цилиндра, равно Мгновенный сферический поверхностный источник мощностью и радиусом действующий в момент времени

В данном случае, используя сферические координаты, мы рассмотрим точечный источник мощностью действующий в точке шара

Тогда температура в точке равна следующей величине:

где Количество тепла, выделяемое на поверхности шара, равно Мгновенный источник мощностью в виде окружности радиуса действующий в плоскости в момент времени

Если мгновенные точечные источники мощностью расположены на окружности в плоскости то температура в момент времени в точке с координатами равна

где а полное количество выделяемого тепла равно Мгновенный источник в виде диска радиуса а, действующий в плоскости в момент времени

Положим в выражении и проинтегрируем по от до тогда, если на диске радиуса а мгновенно выделяется количество тепла , то

мы получим для температуры выражение

За исключением случая, когда этот интеграл нельзя выразить через табличные функции. При мы получаем

VII. Неограниченная область с начальной температурой, заданной функцией в цилиндрических координатах.

Из соотношения (3.5) следует, что температура в момент времени записывается в виде

Если

то выражение (3.11) принимает вид

Этот интеграл следует определять численным методом, за исключением случая когда он равен

Некоторые значения рассчитанные по уравнению (3.12), приведены на рис. 4, б.