§ 5. Ограниченная область (0, l). Решения, получаемые из таблицы изображений. Решения для небольших значений времени

I. Рассмотрим сначала область с нулевой начальной температурой при отсутствии потока тепла через поверхность При поверхность поддерживается при постоянной температуре

В этом случае вспомогательное уравнение имеет вид

при граничных условиях

и

Его решение имеет вид

Так как в таблице изображений величина определяемая (5.1), отсутствует, мы получим решение воспользовавшись теоремой обращения (см.

(3.8) данной главы). Это будет сделано в следующем параграфе и приведет к обычному результату (4.2) гл. III. В данном параграфе используется метод, позволяющий при помощи таблицы изображений получить решение в другой форме. Эта форма часто оказывается удобнее приведенной ранее, особенно для небольших значений времени.

Выразим гиперболические функции в решении (5.1) через показательные функции и разложим их в ряд по степеням Тогда вместо (5.1) мы получим

Таким образом, воспользовавшись (8) приложения 5, получаем результат, совпадающий с (3.9) гл. III,

Этот ряд всегда сходится довольно быстро, за исключением случая больших значений Таким образом, он является дополнением к решению (4.2) гл. III, которое лучше всего сходится при больших значениях времени. В диапазоне средних значений при которых пригодными оказываются как (5.3), так и (4.2) гл. III, первым, вероятно, несколько удобнее пользоваться. Например, если то из (5.3) получим для

Если средняя температура пластины равна и, то, используя приложения 5, получим

II. Область с нулевой начальной температурой. Плоскость поддерживается при нулевой температуре, а плоскость (при при постоянной температуре

В данном случае

Общее количество тепла, проходящее через плоскость за промежуток времени от до равно

III. Область с нулевой начальной температурой. При тепловой поток отсутствует. При поток тепла в твердое тело [19] постоянен.

В данном случае

IV. Область с постоянной начальной температурой На поверхности тепловой поток отсутствует. На поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

В данном случае вспомогательное уравнение (3.5) данной главы имеет

при граничных условиях

Его решение записывается в виде

или

Последовательные экспоненциальные члены ряда (5.10) имеют коэффициенты, являющиеся сложными функциями и поэтому для простой ряд написать нельзя.

Однако для этого ряда можно сразу же записать несколько первых членов и, таким образом, получить решение [20], пригодное для малых значений времени. Итак, воспользовавшись (14) приложения 5, получим

Аналогичным методом можно воспользоваться при решении задач, приведенных в §§ И и 13 гл. Область с нулевой начальной температурой. При плоскости поддерживаются при температуре, равной нулю. При в твердом теле в единицу времени на единицу объема выделяется количество тепла [21], равное где

В данном случае дифференциальное уравнение (14.1) гл. III записывается в виде

Вспомогательное уравнение имеет вид

Это последнее должно быть решено при условии, что при Искомое решение записывается в виде