ГЛАВА XIII. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦИЛИНДРА И ШАРА

§ 1. Введение

В настоящей главе мы рассмотрим несколько задач для шара и бесконечного цилиндра кругового сечения, которые гораздо легче решаются не классическими методами, а методом преобразования Лапласа. Мы займемся здесь задачами [1, 2] с усложненными граничными условиями, задачами для полого и составного цилиндров, а также решениями, применимыми для малых интервалов времени, решениями для областей, ограниченных изнутри цилиндрическими поверхностями, и, наконец, соответствующими задачами для шара.

§ 2. Цилиндр кругового сечения с различными граничными условиями

В настоящем параграфе в качестве примера применения преобразования Лапласа при решении задач для цилиндрической области приведено сокращенное решение нескольких задач, уже рассмотренных в §§ 6—9 гл. VII. Используемые здесь выражения для изображений потребуются также в § 3 гл. XIII, где находят решения, применимые при малых значениях Нулевая начальная температура. Температура поверхности постоянна.

В данном случае нужно решить уравнение

при условии, что при

Вспомогательное уравнение имеет вид

где Его следует решать при

и при имеющем конечное значение при Из двух решений уравнения (2.2), последнее при стремится к бесконечности, и поэтому его следует исключить. Таким образом, решение уравнения (2.2) при условии (2.3) имеет вид

Отсюда, используя теорему обращения, получим

где, как обычно, обозначает

Подынтегральная функция в соотношении (2.5) является однозначной функцией (см. [3] или ряд, в который разлагается функция ), и поэтому мы воспользуемся контуром, изображенным на рис. 39. Нули функции располагаются в точках где служат корнями уравнения

Тогда обычным путем получаем, что интеграл в соотношении (2.5) равен произведению на сумму вычетов относительно полюсов подынтегральной функции. Вычеты оцениваются по следующей формуле (ср. (26) приложения 3):

Для полюса при вычет равен 1, поскольку при Таким образом, окончательно получим

Мы получили решение, совпадающее с решением (6.8) гл. VII, но здесь мы не принимаем допущения (6.1) той же главы, и можно, как в приложении 1, показать, что соотношение (2.7) удовлетворяет условиям нашей задачи. Аналогичное замечание применимо ко всем решениям, приведенным в данной главе.

II. Начальная температура равна нулю. Температура поверхности равна

Аналогичным путем находим, что

Единственным отличием служит существование в данном случае полюса второго порядка при Нулевая начальная температура. Тепловой поток на поверхности постоянен и равен

Вспомогательное уравнение (2.2) следует здесь решать при граничном условии

Таким образом,

Воспользовавшись теоремой обращения, получим решение в виде

где положительные корни уравнения

IV. Нулевая начальная температура. Граничное условие третьего рода.

Вспомогательным уравнением остается уравнение (2.2), и если на границе цилиндра происходит теплообмен со средой, имеющей постоянную температуру V, то граничное условие имеет вид

Следовательно, решение запишется следующим образом:

Воспользовавшись теоремой обращения, находим решение в виде

где положительные корни уравнения

V. Контакт с хорошо перемешиваемой жидкостью или идеальным проводником тепла.

В качестве примера рассмотрим следующий случай: цилиндр , имевший в начальный момент постоянную температуру V, помещают в хорошо перемешиваемую жидкость с удельной теплоемкостью с и температурой, равной в начальный момент времени нулю. Пусть на единицу длины цилиндра приходится масса жидкости, с которой он соприкасается, равная Пусть, далее, температура жидкости при равна температуре поверхности твердого тела и тепло, теряемое жидкостью в окружающую среду, равно произведению на температуру жидкости.

В этом случае вспомогательное уравнение записывается следующим образом:

Граничное условие при имеет вид (ср. (9.14), гл. I)

где температура жидкости, причем при

Отсюда получим следующее граничное условие для вспомогательного уравнения (2.17):

Следовательно,

и

где корни уравнения

а

VI. Выделение тепла при в цилиндре Начальная температура равна нулю.

Если начальная температура цилиндра равна нулю и если при в цилиндре выделяется в единицу времени на единицу объема постоянное количество тепла а поверхность поддерживается при нулевой температуре, то вспомогательное уравнение имеет вид (6.7) гл. 1

Решение этого уравнения с величиной равной при нулю и имеющей при конечное значение, записывается в виде

Отсюда, пользуясь (2.8), получим

где положительные корни уравнения