ГЛАВА XIV. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА К РЕШЕНИЮ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

§ 1. Введение

Применение функций Грина в теории потенциала известно очень хорошо. Удобнее всего определить эту функцию внутри замкнутой поверхности как потенциал, который обращается в нуль на данной поверхности, а в точке находящейся внутри нее, стремится к бесконечности как когда Обозначим такое решение уравнения через тогда решение этого уравнения, не обращающееся в бесконечность внутри данной поверхности и принимающее на ней произвольное значение V, запишется в виде

где означает дифференцирование по внешней нормали

Мы покажем, что подобную функцию можно с успехом применить и в теории теплопроводности. Мы определяем в этом случае функцию Грина как температуру в точке в момент времени обусловленную действием мгновенного точечного источника единичной мощности, помещенного в точку в момент полагая, что начальная температура тела равна нулю и его поверхность поддерживается при нулевой температуре.

Такое решение можно написать следующим образом:

Оно удовлетворяет уравнению

Однако поскольку входит только в форме то мы получим также

Кроме того, во всех точках внутри 5, за исключением точки Внутри 5 решение имеет вид

Наконец, на поверхности

Пусть распределение температуры в твердом теле в момент времени обусловленное температурой поверхности и начальной температурой

Тогда удовлетворяет уравнению

и условиям

Кроме того, поскольку время в приведенных формулах лежит внутри, интересующего нас интервала времени, мы можем написать

Отсюда

и

Тройной интеграл берется по всему твердому телу, некоторая положительная, сколь угодно малая величина, меньшая чем

Меняя порядок интегрирования в левой части равенства и применяя формулу Грина к правой части, получим

где означает дифференцирование по внутренней нормали; мы воспользовались здесь тем, что на поверхности.

Перейдем теперь к пределу при Левая часть равенства принимает вид

Первый интеграл берется по элементу объема, внутри которого находится точка В этой точке функция и в момент времени становится бесконечной. Второй интеграл берется по всему объему тела. является значением в точке в момент времени

Напомним, что — это температура в момент времени обусловленная действием единичного источника в момент в точке тогда

и мы получим

Этой формулой выражается температура в точке в момент времени при начальном распределении температур и при температуре на поверхности

Если на поверхности происходит теплообмен, то мы определяем функцию Грина и как температуру в точке (х, у, 2) в момент t, обусловленную действием в момент мгновенного точечного источника единичной мощности, помещенного в точке тела, на поверхности которого происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

Температура в точке в момент обусловленная начальным распределением температур и теплообменом со средой, имеющей температуру определяется из рассуждений, аналогичных приведенным. В конце концов, поскольку на выбранной поверхности получим

Таким образом, найденный нами результат имеет такой же вид, как и (1.1).

Итак, решение общей задачи теории теплопроводности сводится к определению функции Грина для тела, температуру которого требуется найти.

Для случая линейного или двумерного теплового потока можно сразу же получить результаты, аналогичные (1.1) и (1.2). Вместо бесконечности порядка

мы получим соответственно

и

В связи с этими изменениями формулы, соответствующие (1.1) и (1.2), будут иметь вид

и

где интегрирование в (1.4) производится вдоль границы области.

Физическая интерпретация полученных решений очень проста и вместе с тем очень важна. Так, например, из соотношения (1.1) следует, что температура в момент времени в теле с начальной температурой и температурой поверхности, равной нулю, совпадает с температурой, обусловленной действием в момент распределенных по объему тела мгновенных источников, причем в элементе объема в точке выделяется количество тепла, равное С физической точки зрения это можно считать очевидным. Аналогичным образом, если в теле выделяется тепло, то температуру можно найти из распределения непрерывных источников по всему объему этого тела. Кроме того, из соотношения (1.1) следует, что температура в момент времени в теле с нулевой начальной температурой и заданной температурой поверхности равна температуре, обусловленной распределением по поверхности непрерывных дублетов с осями, нормальными к поверхности (см. § 8 гл. X).

В настоящей главе мы определим функции Грина для ряда важных областей и граничных условий. В нескольких случаях эти функции можно написать сразу. Но обычно мы будем пользоваться преобразованием Лапласа. Как отмечено в приложении 1, можно показать, что найденные таким путем функции Грина удовлетворяют требуемым условиям.

Если функция Грина известна, то решение задачи теплопроводности для заданной области, при заданных граничных условиях и начальной температуре, являющейся произвольной функцией пространственных координат, можно сразу же записать при помощи формул данного раздела. Некоторые из этих решений были уже получены другими методами, но при этом мы каждый раз допускали, что возможно такое разложение произвольной функции, которое требуется задачей. В излагаемом сейчас методе нет необходимости в подобном допущении.

Полученные таким путем решения справедливы при Когда , они стремятся к заданному начальному значению. Полагая в них мы получаем формальные разложения произвольных функций. Например, приняв в выражении (8.6) данной главы получим

где положительные корни уравнения Мы получили разложение Фурье — Бесселя, которое использовалось в § 6 гл. VII. Функция Грина для каждой задачи дает, таким образом, соответствующую теорему разложения (или интегральную теорему); многие из них еще не исследованы.