§ 3. Установившаяся температура в неограниченном теле прямоугольного сечения

Здесь требуется найти решение следующего дифференциального уравнения:

причем граничные условия зависят от рассматриваемой задачи.

I. Граничная поверхность поддерживается при температуре другие поверхности — при нулевой температуре.

В данном случае граничные условия запишутся следующим образом:

Как и в предыдущем параграфе, запишем в виде ряда по синусам

где

Теперь для любого член вида

удовлетворяет соотношениям (3.1), (3.3), (3.4) и (3.5). Таким образом, нам нужно рассмотреть выражение

где определяется (3.7). Доказательство того, что (3.9) удовлетворяет можно провести точно так же, как и в предыдущем параграфе. Если равно постоянной величине V, то (3.9) примет вид

Если некоторые другие граничные поверхности тела прямоугольного сечения также поддерживаются при заданной температуре, то решение можно получить путем комбинации решений вида (3.9).

II. Граничная поверхность поддерживается при температуре Тепловой поток через поверхности отсутствует. На поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

В данном случае граничные условия имеют вид

Выражение

удовлетворяет (3.1), (3.13) и (3.12) при любом а. Оно также удовлетворяет (3.14), если а служит корнем уравнения

Корни этого уравнения при рассматривались в § 10 гл. III. Если теперь мы предположим, что можно представить в форме, аналогичной уравнению (10.9) гл. III, то решение нашей задачи примет вид

где положительные корни (3.15).

Если то оно запишется в виде

Из соображений симметрии следует, что это выражение служит также решением для тела с сечением — когда граничные поверхности поддерживаются при температуре V, а на поверхностях происходит теплообмен.

III. Граничная поверхность поддерживается при температуре Тепловой поток через поверхность отсутствует. На поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

В данном случае граничными условиями служат (3.11), (3.13), (3.14) и

Выражение удовлетворяет (3.1), (3.13) и (3.18) для всех значений а. Поступая так же, как и в примере И, иаходим решение в виде

где положительные корни (3.15).

Если то (3.19) принимает вид

Это выражение представляет собой решение для тела с сечением — когда плоскость поддерживается при постоянной температуре V и имеет место теплообмен на других поверхностях со средой нулевой температуры. Это решение использовалось при изучении распределения температур в охлаждающих ребрах конечной толщины [5, 6]. Соответствующая задача для тонкого ребра рассмотрена в § 6 гл. IV, а для ребра, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, — в § 2 гл. VI.

IV. Граничная поверхность поддерживается при температуре поверхность при нулевой температуре. Тепловой поток через отсутствует. На поверхности а имеет место теплообмен со средой нулевой температуры.

В данном случае решение имеет вид

где положительные корни уравнения (3.15).

Если то наше решение примет вид

Это выражение представляет собой решение для тела с сечением когда граничная поверхность поддерживается при температуре при нулевой температуре и на поверхностях имеет место теплообмен.

Если поверхность поддерживается при температуре при температуре а на двух других поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то решение принимает вид

V. Случай различной теплопроводности в направлениях х и у.

Этот случай, который часто встречается в инженерной практике, можно рассматривать путем простого распространения метода, изложенного выше. Предположим, что теплопроводность в направлении раз больше, чем в направлении у, где постоянная. Тогда уравнение (3.1) заменяется уравнением

Как и в разобранном выше примере I, член вида

удовлетворяет (3.24) и заменяет (3.8). Тогда решение этой задачи, соответствующее примет вид