§ 2. Источники и стоки при установившейся температуре
Предположим, что тепловой поток в неограниченном твердом теле вызван постоянным подводом тепла в одних точках и его удалением в других. Эти точки можно назвать источниками и стоками тепла.
Опишем небольшую шаровую поверхность радиуса 
вокруг точки, в которой выделяется тепло; тогда при 
количество тепла, проходящее в единицу времени через шаровую поверхность, должно равняться мощности источника. Следовательно, решение уравнения
должно иметь вид
где 
- решение уравнения (1.1) данной главы, ограниченное в точке, в которой расположен источник, 
мощность источника.
Аналогичным образом для линейного источника мощностью 
часть выражения для 
стремящаяся к бесконечности, когда расстояние 
до линейного источника приближается к нулю, имеет вид
Если тепло непрерывно выделяется в ограниченной области неограниченного твердого тела, температуру в любой его точке находят интегрированием функций (2.1) или (2.2).
Если тепло выделяется в ограниченной области, поверхность которой поддерживается при нулевой температуре (или термически изолирована), то можно применить метод изображений или, в более общем случае, воспользоваться функцией Грина для уравнения Лапласа.
Для точечного источника, находящегося в точке 
заданной области с заданными граничными условиями, эта функция Грина определяется как решение уравнения Лапласа и(х, 
; 
которое удовлетворяет граничным условиям и ограничено везде внутри области, за исключением точки 
где оно стремится к бесконечности таким образом, что
ограничен. Здесь 
Итак, если и — определенная выше функция Грина, то температура, вызванная действием в точке 
источника мощностью 
будет равна
Эти функции Грина хорошо известны и их теория изложена в работах по теории потенциала. Здесь мы только отметим, что для областей, рассмотренных в гл. XIV, их можно получить из результатов этой главы. Обращаясь, например, к § 10 гл. XIV, найдем, что если положить 
то 
определенное в этом параграфе, удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям, а вблизи точки 
ведет себя как
Тем самым определенная выше функция Грина и равна
где 
значение изображения решения, приведенного в гл. XIV, при 
для единичного мгновенного точечного источника в той же области и при тех же граничных условиях.
Поэтому, например, если плоскости 
поддерживаются при нулевой температуре, а в точке с цилиндрическими координатами 
выделяется в секунду количество тепла, равное 
то температура в точке
согласно (10.11) гл. XIV, будет равна
где
Аналогичным образом, если цилиндрическая поверхность 
поддерживается при нулевой температуре, а в точке 
) внутри цилиндра в секунду выделяется 
единиц тепла, то, используя (13.5) гл. XIV, получим, что температура в точке 
запишется в виде
где суммирование по а проводится по положительным корням уравнения 
Согласно (15.1) гл. XIV соответствующее решение для источника в точке 
ограниченного цилиндра 
с нулевой температурой поверхности равно
где
и
Если 
то в соотношении (2.8) мы меняем местами 
В качестве примера использования этих решений определим температуру в цилиндре 
поверхность которого поддерживается при нулевой температуре и в котором вдоль линии, параллельной оси цилиндра и проходящей между точками 
расположен линейный источник мощностью 
Эта температура равна
где и определено выражением (2.8). Следовательно, при 
она равна
Итак, мы получили температуру в цилиндре, нагреваемом проволокой, параллельной его оси 
