§ 16. Области, ограниченные сферической поверхностью r=a
Требуется найти температуру в точке со сферическими координатами 
обусловленную действием единичного мгновенного точечного источника, расположенного в начальный момент времени в точке 
.
Температура и в точке 
обусловленная действием такого источника в неограниченной среде, равна
где
Тогда из выражения (6) приложения 5 получим
Применяя одну из теорем сложения для функций Бесселя (см. 
можно выразить и в форме, удобной для использования в сферической системе координат, а именно в форме
где 
.
I. В шаре 
действует источник. Поверхность 
имеет температуру, равную нулю.
Пусть, как обычно, 
где функция 
должна удовлетворять уравнению теплопроводности, обращаться в нуль при 
и быть такой, чтобы 
(равное 
) при 
обращалось в нуль.
Функция 
должна удовлетворять вспомогательному уравнению
Его решение, имеющее конечное значение в начале координат, имеет вид
где коэффициенты 
следует определять из условия, что 
при 
обращается в нуль. Тогда, используя соотношение (16.4), получим
Таким образом, когда 
Если же 
то 
в соотношении (16.7) следует поменять местами.
Функцию 
находят, применяя обычным образом теорему обращения к членам соотношения (16.7). Это дает
где а — положительные корни уравнения
Чтобы найти температуру в точке 
обусловленную действием в точке 
единичного мгновенного источника, используем решение (16.8), в котором 
заменено на 
где 
угол 
Кроме того, известно, что
где 
При помощи этих результатов можно найти температуру в шаре 
с произвольной начальной температурой и произвольной температурой поверхности.
II. Задача, аналогичная задаче I, но на поверхности 
происходит теплообмен со средой, температура которой равна нулю
где 
положительные корни уравнения
Если тепловой поток равен нулю 
то к правой части (16.11) следует добавить член 
Область ограничена изнутри сферой 
В момент времени 
точке 
действует единичный мгновенный точечный источник. Поверхность 
поддерживается при температуре, равной нулю.
где
IV. Задача, аналогичная задаче III, но на поверхности 
происходит теплообмен со средой, температура которой равна нулю.
где
