§ 4. Двумерные задачи. Тела с прямоугольным сечением

В таких случаях функция Грина описывает температуру в сечении в момент времени в точке обусловленную распределением единичных мгновенных линейных источников, расположенных вдоль прямой, параллельной оси проходящей через точку в момент времени Иными словами, нам нужно получить решение уравнения теплопроводности, удовлетворяющее заданным граничным условиям и ведущее себя при как

Поскольку функцию и можно представить в виде произведения (4.1), из рассуждений § 15 гл. I следует, что для любого из граничных условий (3.3) предыдущего параграфа решение для двумерной области можно выразить через произведение соответствующих одномерных решений.

I. Тело с сечением в виде квадранта температура граничной поверхности равна нулю.

В соответствии с выражением (2.1) данной главы распределение температур, обусловленное действием мгновенного единичного линейного

источника в точке в момент времени записывается в виде

Решение для этой области с заданными начальной температурой и температурами граничных поверхностей можно тогда написать, воспользовавшись соотношением (1.4) данной главы.

Аналогичным образом, если на граничной поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то функция Грина равна произведению двух выражений типа (2.6) данной главы.

И. Тело с сечением в виде прямоугольника температура граничной поверхности равна нулю.

Найденная из решения (3.2) предыдущего параграфа функция Грина для нулевой температуры граничной поверхности равна

III. Тело с сечением в виде прямоугольника теплообмен на граничной поверхности отсутствует.

Функция Грина (см. (3.7) данной главы) в этом случае имеет вид