§ 19. Теплопроводность тонкой кристаллической пластины

Двумерный случай проводимости интересен тем, что он иллюстрирует основные черты общего случая; кроме того, в нескольких важных методах определения теплопроводности используются тонкие кристаллические пластины. В данном параграфе будет рассмотрена общая теория распространения тепла в такой пластине без каких-либо предположений о ее симметрии.

Выберем оси х и у так, чтобы они лежали в плоскости пластины, т. е. предположим, что поток тепла в направлении отсутствует тогда выражения (17.2) принимают вид

Решая их относительно и используя соотношения (17.3), (17.4) и (17.8), получим

где

Эти четыре величины можно назвать коэффициентами теплопроводности для тонкой пластины в плоскости они сводятся к только тогда, когда одна из величин а также одна из величин превращаются в нуль.

Подставляя соотношения (19.2) в (6.3), мы получаем уравнение теплопроводности при установившемся состоянии

Можно записать его и в другом виде, а именно в виде

Относя уравнение (19.5) к главным осям (как и в § 18), получим

где можно назвать главными коэффициентами теплопроводности в плоскости (здесь штрих используется для того, чтобы отличать эти коэффициенты от главных коэффициентов теплопроводности в трехмерном случае (см. § 18), с которыми они могут совпадать в специальных задачах). Компоненты теплового потока, отнесенные к тем же главным осям, должны принять вид

так как уравнение теплопроводности (19.7) в этих координатах не содержит члена сравнивая полученные уравнения с уравнением (19.5), мы видим, что для их удовлетворения сумма коэффициентов при в соотношении (19.8) и при в соотношении (19.9) должна быть равной нулю. и А могут быть, в принципе, определены из коэффициентов в соотношениях (19.1) и (19.2).

В качестве примера, имеющего большое практическое значение, определим изотермы и линии тока тепла для случая постоянного притока тепла к пластине в начале координат.

Напишем соотношения, аналогичные (18.5):

Тогда уравнение (19.7) примет вид

при радиальной симметрии его решение запишется в виде

где констайта. Подставляя это выражение в соотношения (19.8) и (19.9), получим

Общее количество тепла, проходящее через круг радиусом а с центром в начале координат и рассчитанное на единицу толщины пластины, равно

Используя выражения (19.13) и считая получим

т. е. находим, что не зависит ни от а, ни от А Подставляя в выражение (19.12) величину определяемую соотношением (19.14), мы получаем установившуюся температуру, обусловленную наличием в начале координат источника тепла мощностью Изотермы образуют семейство эллипсов

Направление вектора теплового потока определяется соотношением

Если то он направлен радиально от источника (но не перпендикулярно эквипотенциальным линиям).

Рис. 3.

На рис. 3, а показаны эквипотенциальные линии, а также линии тока тепла, т. е. кривые, направление которых в каждой точке совпадает с направлением вектора теплового потока.

Если то дифференциальное уравнение линий тока тепла имеет вид

Решение его записывается следующим образом:

Кривые, соответствующие соотношению (19.18), образуют семейство спиралей, которые показаны на рис. 3, б. В плоскости при спирали изогональны к окружностям. Следовательно, если так называемый «вращательныйэ член А не равен нулю, то направление течения тепла от точечного источника в неограниченной пластине будет таким, как показано на рис. 3, б. Если в пластине имеется радиальная трещина, то тепло не сможет течь по этим спиралям и, следовательно, между двумя сторонами трещины должна возникать разница температур. Тот факт, что в экспериментах подобного типа не было обнаружено никакого различия температур, указывает, что А мало. Другие методы показали [127], что А составляет менее одной тысячной или

Эллиптическая форма изотерм (см. соотношение (19.15)) была использована для определения отношения главных коэффициентов теплопроводности причем

для демонстрации изотерм на поверхность кристаллической пластинки наносилась тонкая пленка воска [128—130].

Для случая линейной теплопередачи между поверхностью пластины и внешней средой при нулевой температуре и теплового потока, равного уравнение для стационарного режима (которое находят так же, как в § 4 гл. V), написанное относительно главных осей в плоскости, имеет вид

где толщина пластины. Решением этого уравнения, соответствующим установившемуся потоку тепла от точечного источника, служит

где функция Бесселя, определенная в приложении 3. И в этом случае изотермы имеют вид эллипса (см. соотношение (19.15)), и проведенное выше рассуждение остается справедливым.