§ 2. Установившаяся температура. Радиальный тепловой поток

В данном случае дифференциальное уравнение имеет вид

Общим решением уравнения (2.1) служит

где постоянные, которые следует определить из граничных условий;

I. Полый шар Поверхность а имеет температуру а поверхность температуру

В данном случае

II. Полый шар Поверхность имеет температуру На поверхности происходит теплообмен со средой температуры

В этом случае

III. Полый На поверхности теплообмен со средой температуры а на поверхности со средой температуры

Если граничные условия имеют вид

то искомым решением служит

IV. Постоянный тепловой поток через внутреннюю поверхность полого шара

Так как тепловой поток «через, любую сферическую поверхность радиуса равен

и, в соответствии с (2.1), постоянен, то

Если температуры поверхностей соответственно, то, интегрируя, получим

Устройства, в которых тепло выделяется внутри полого шара, используются для определения теплопроводности Применение шара обеспечивает устранение краевых эффектов, но вносит другие трудности.

Если теплопроводность К является функцией температуры, то соотношение (2.6) остается справедливым и интегрирование дает

где средняя теплопроводность для интервала температур» равного разности между температурами в точках Таким образом, соотношение (2.7) остается справедливым, если К заменяется на

V. Составной полый шар областей теплопроводностями

Если температуры на поверхностях равны соответственно то последовательное использование соотношения (2.7) дает

Отсюда

Если, кроме того, на поверхностях имеются контактные сопротивления, равные на единицу поверхности а температуры внутри и снаружи составного шара соответственно равны то

VI. Шар из твердого материала в котором в единицу времени на единицу объема выделяется постоянное количество тепла

Тогда дифференциальное уравнение (6.7) гл. I принимает вид

Требуется найти решение, имеющее конечное значение при Если температура поверхности равна нулю, то оно имеет вид

Если на поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то это решение примет вид

VII. Область Поверхность имеет температуру

VIII. В области с теплопроводностью в единицу времени на единицу объема выделяется постоянное количество тепла, равное В области с теплопроводностью К тепло не выделяется. На поверхности имеется контактное сопротивление, равное на единицу площади