§ 4. Неустановившаяся температура. Решение в виде произведения решений
Решения ряда важных задач можно записать, как и в § 6 предыдущей главы, используя метод, изложенный в § 15 гл. I, и известные решения одномерных задач. Здесь мы приведем решения для случая начальной температуры, равной единице, и нулевой температуры поверхности (или теплообмена со средой нулевой температуры). Решения для случая нулевой начальной температуры и температуры поверхности, равной единице (или теплообмена со средой, имеющей температуру, равную единице), получаются путем вычитания приводимых ниже результатов из единицы. Тогда решения для произвольных температур поверхности следуют из теорем Дюамеля (см. § 14 гл. I). Для анизотропного твердого тела с главными осями теплопроводности, параллельными координатным плоскостям, и различными коэффициентами теплообмена на поверхностях, данный метод по-прежнему остается справедливым.
I. Область 
с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности.
II. Та же область с начальной температурой, равной единице, и теплообменом на поверхности со средой нулевой температуры.
где 
определяется соотношением (6.5) гл. V.
III. Область — 
с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности.
где
IV. Область 
с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности.
или
где
V. Область — 
с начальной температурой, равной единице, и теплообменом на поверхности со средой нулевой температуры [6].
где
и 
положительные корни уравнения
VI. Область 
с начальной температурой, равной нулю, и температурой поверхности 
Если 
то решение, которое следует из (4.6) и (4.7), имеет вид
В случае температуры поверхности, равной 
мы получим, используя теорему Дюамеля
Если 
мы получим
При выводе (4.12) и (4.13) из (4.11) мы получаем один ряд, так как начальная температура равна нулю. Выражение для случая периодического изменения температуры поверхности можно найти из (4.12), но конечный его вид не очень удобен для использования. Эти задачи будут еще раз рассмотрены в § 11 гл. XV.
