§ 6. Неустановившееся состояние. Решение в виде произведения решений

В § 15 гл. I отмечалось, что для начальных и граничных условий определенного типа решение задач с несколькими переменными можно записать в виде произведения решений одномерных задач. В двумерном случае начальная температура должна выражаться как произведение а граничными условиями должны служить условия нулевой температуры, нулевого потока или теплообмена со средой нулевой температуры.

Рис. 21. Изотермы для тела с сечением в виде квадранта, с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности.

Здесь мы рассмотрим только случай постоянной начальной температуры, являющийся практически наиболее важным. Решения для случаев нулевой начальной температуры и температуры, равной единице на граничных поверхностях тела (или теплообмена со средой, имеющей на этих поверхностях температуру, равную единице), всегда можно получить путем вычитания решений, приводимых ниже, из единицы.

I. Прямой угол с сечением в виде квадранта и с начальной температурой равной единице.

Решение для полуограниченного тела с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности (см. (4.3) гл. II) имеет вид

Следовательно, решение для тела с сечением в виде квадранта с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой граничной поверхности записывается следующим образом:

На рис. 21 показаны изотермы, соответствующие значениям равным

Для тела, ограниченного плоскостями, пересекающимися под прямыми углами, решение (6.2) приближенно справедливо вблизи любого внешнего угла. Тепловой поток в точке граничной поверхности равен

он меньше теплового потока для полуограниченного твердого тела на величину

Таким образом, величина потери тепла телом в единицу времени на единицу длины перпендикуляра к ограничивающим плоскостям меньше количества тепла, теряемого полуограниченным твердым телом, на величину

при вычислении интеграла использовалась формула (15) приложения 2.

Если тело с сечением имеет начальную температуру, равную единице, и на его граничных поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то температура будет равна

где -величина, определяемая (7.1) гл. II, а именно

II. Полуограниченное тело прямоугольного сечения начальной температурой, равной единице.

Если граничные поверхности поддерживаются при нулевой температуре, то соответствующее одномерное решение имеет такой же вид, как и (3.8) гл. III, т. е.

Если же на этих поверхностях происходит теплообмен, то соответствующее решение имеет такой же вид, как и (11.12) гл. III, т. е.

где — положительные корни уравнения

Если на всех граничных поверхностях поддерживается нулевая температура, то решение имеет вид

Если на всех поверхностях происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то

Если на поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры, а поверхности поддерживаются при нулевой температуре, то

III. Неограниченное тело прямоугольного сечения с начальной температурой, равной единице.

В этом случае решения соответствующих одномерных задач определяются из (6.6) и (6.7).

Если все граничные поверхности тела поддерживаются при нулевой температуре, то решение имеет вид

Значения функций можно найти из рис. 11; тогда легко построить изотермы для любого момента времени.

Рис. 22. Изотермы для тела с сечением в виде квадрата со стороной с начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности:

Рис. 23. Изотермы для тела с сечением в виде прямоугольника со сторонами начальной температурой, равной единице, и нулевой температурой поверхности:

На рис. 22 и 23 изображены изотермы при для тел с квадратным и прямоугольным сечением, у которых

Аналогичным образом, если на граничных поверхностях тела происходит теплообмен со средой нулевой температуры, то решение имеет вид

Как отмечалось в § 15 гл. I, для твердого тела с различными коэффициентами температуропроводности в направлениях х и у и различными коэффициентами теплообмена на различных граничных поверхностях, решения по-прежнему можно записать таким же образом.