§ 18. Непрерывные источники

Решения для непрерывных точечных или линейных источников в областях, рассмотренных в настоящей главе, можно получить путем интегрирования соответствующих функций Грина. Однако эти решения очень просто получаются и непосредственно. В качестве примера рассмотрим непрерывный линейный источник, выделяющий при в единицу времени на единицу длины количество тепла, равное Источник располагается параллельно оси цилиндра и проходит через точку Начальная температура цилиндра равна нулю. Теплообмен на его границе отсутствует.

Требуется найти решение вспомогательного уравнения

при условиях

и

где

Решение уравнения (18.1) с условием (18.3) имеет вид

Согласно теореме сложения (см. пример I § 13 данной главы) его можно записать в виде

где если если Если то в выражении (18.5) нужно поменять местами. Таким образом, для решения уравнения (18.1) при условиях (18.2) — (18.4) мы получим

где следует выбрать так, чтобы функции (18.6) удовлетворяли условию (18.2). Для этого нужно, чтобы

Поэтому, если то

Если же то в соотношении следует поменять местами. Из теоремы обращения получим

Если то в начале координат имеется полюс второго порядка с вычетом

Если то в начале координат имеются простые полюсы с вычетом

Тогда полюсы при дают

Другие нули знаменателей (18.8) дают

где - положительные корни уравнения

Общее решение нашей задачи равно сумме соотношений (18.11) и (18.12).

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)