§ 11. Применение метода изображений к двумерным и трехмерным задачам

I. Полуограниченное твердое тело Начальная температура Граница поддерживается при нулевой температуре.

Помещая линейный источник мощностью в точку мы должны взять равный ему по мощности сток в точке что позволит удовлетворить условиям на границе. Тогда

II. Полуограниченное твердое тело Начальная температура Граница поддерживается при нулевой температуре.

Помещаем точечный источник мощностью в точку и равный ему по мощности сток в точку ; это обеспечивает на границе температуру, равную нулю. Тогда мы получим

где

и

III. Клин с углом раствора где любое положительное целое число.

Двумерные и трехмерные задачи, рассмотренные в примерах I и II, являются частными случаями общей задачи для клина с углом раствора где любое целое положительное число. Рассматривая эту задачу, мы ограничимся случаем двух измерений, т. е. рассмотрением линейного источника в точке причем ребро клина совпадает с осью Решение трехмерной задачи с точечным источником в точке и распространение полученного решения на более общий случай любой начальной температуры не представляют трудностей.

Возьмем цилиндрические координаты. Границами клина служат плоскости температуры которых должны равняться нулю.

Внутри клина

Пусть источник находится в точке с координатами

Пусть окружность, проходящая через точку и имеющая центром начало координат, пересекает плоскости в точках А к В (рис. 35).

Тогда углы и будут равны и где

Поместим источник единичной мощности в точке

Чтобы получить нулевую температуру на линии поместим сток единичной мощности в точку которая является изображением точки относительно ОА. Это значит, что угол АОРх равен —а.

Чтобы уравновесить сток, находящийся в точке поместим источник в точку которая является изображением точки относительно Это значит, что угол равен

Чтобы уравновесить источник, находящийся в точке на линии поместим сток в точку которая является изображением относительно ОА.

Это значит, что угол равен

Таким путем мы получим ряд изображений причем

Следовательно, угол равен

Рис. 35.

Тогда

Таким образом, точка совпадает с изображением точки относительно поэтому ряд изображений конечен, и последней точкой будет ледов все такие источники и стоки вместе с источником дадут нулевую температуру на плоскостях

Температура в точке полученная в результате действия этой системы источников и стоков, записывается в виде

где температура, полученная в результате действия источника единичной мощности, помещенного в точке неограниченного твердого тела.

Однако выше (см. (3.3) данной главы) мы видели, что температура в точке обусловленная источником единичной мощности, помещенным в точке равна

где

Пользуясь разложением Неймана [3, 19]

получим для температуры

или

Тогда из соотношения (11.1) следует, что

Когда не кратно сумма по 5 равна нулю. Когда же кратно сумма по 5 равна

Таким образом, из соотношения (11.2) получаем решение нашей задачи о температуре в клине обусловленной источником единичной мощности, помещенным в точке в виде

где, как и выше, мы писали вместо

Решая трехмерную задачу, мы исходим из выражения

соответствующего источнику единичной мощности, находящемуся в точке . Поступая так же, как и выше, получаем решение нашей задачи в виде