§ 7. Выделение тепла

Выше уже был решен ряд задач, в которых выделение количества тепла в единицу времени в единице объема либо постоянно, либо является простой функцией положения или времени. Все эти задачи можно решить непосредственным применением метода преобразования Лапласа. Здесь мы покажем применение этого метода к более сложным задачам, в частности к нескольким задачам, в которых количество выделяемого тепла является линейной функцией температуры, и к задачам, в которых оно определяется решением уравнения диффузии.

I. Пластана Тепловой поток на плоскости равен нулю. Температура плоскости и начальная температура равны нулю. При в единицу времени выделяется количество тепла, равное

В данном случае следует решить уравнение

Вспомогательное уравнение имеет вид

где

Решать это уравнение следует при условиях

Искомое решение имеет вид

Это решение справедливо при любом знаке В. Если В отрицательно (например, при нагревании электрическим током таких веществ, как графит с отрицательным температурным коэффициентом сопротивления, или в случае отвода тепла от стержня излучением или конвекцией), то решение для установившегося периодического режима содержит гиперболические функции. При положительном В (что обычно имеет место при нагревании электрическим током) все показательные функции в решении (7.6) при стремятся к нулю, если

Если это неравенство справедливо, то существует установившееся распределение температуры, определяемое выражением

При количество выделяющегося в единицу времени тепла слишком велико, чтобы его можно было удалить, и установившееся распределение не наступает.

II. Та же задача, что и в примере I, но граничные условия имеют вид

В данном случае

где — положительные корни уравнения

В этом случае условие существования установившегося состояния имеет вид

III. Цилиндр с нулевой начальной температурой; при граничная поверхность а поддерживается при нулевой температуре. При в единицу времени выделяется количество тепла, равное

В данном случае

положительные корни уравнения

Если В положительно, то решение для установившегося состояния существует только в том случае, когда .

IV. Установившаяся температура в пластине, когда количество выделяющегося в единицу времени тепла является экспоненциальной функцией температуры.

Решение такой задачи с установившейся температурой представляет интерес в связи с существованием верхнего предела количества выделяющегося в единицу времени тепла, что видно из соотношений (7.7) и (7.12).

Простым изменением переменных подлежащее решению уравнение можно привести к виду

с условиями

и

Предположим, что есть значение при Вначале решим уравнение (7.15), учитывая (7.16) и зная, что при Первый интеграл (7.15), удовлетворяющий этим условиям, имеет вид

Повторное интегрирование дает

Так как это решение должно удовлетворять уравнению (7.17), то определяется соотношением

или, полагая

Если то это уравнение имеет два корня, соответствующие двум возможным значениям и тем самым двум возможным решениям для установившегося состояния. Если то это уравнение не имеет действительных корней и решение отсутствует.

V. Тепло выделяется в результате необратимой реакции первого порядка.

В этом случае, допуская, что скорость реакции не зависит от температуры, можно считать, что количество тепла, выделяющегося в единицу времени, равно где А — постоянная, концентрация диффундирующего вещества. Последняя определяется дифференциальным уравнением

где коэффициент диффузии, постоянная [43]. Уравнение (7.21) имеет форму, уже рассмотренную в настоящем параграфе; его можно решить при помощи методов данного параграфа или соотношения (14.25) гл. Когда С найдено, искомая температура определяется уравнением

Вспомогательное уравнение для (7.22) при нулевой начальной температуре имеет вид

Таким образом, если С известно, то его можно подставить в уравнение (7.23), и тогда величину С определять не нужно.

В качестве примера рассмотрим пластину с нулевой начальной температурой, нулевой концентрацией и с граничными условиями

Тогда при этих граничных условиях из (7.21) получим

Использование этого значения С при решении уравнения (7.23) дает

При помощи изложенного метода можно сравнительно легко решить ряд задач подобного типа [44].