§ 13. Родственные дифференциальные уравнения

3 сущности вся эта книга посвящена решению уравнений

или

для областей различных форм с граничными условиями, обычно выраженными через Величины обычно являются константами, а А может зависеть от положения или от времени.

Запишем несколько обобщений выражения (13.3), а именно:

и

где — константы. Эти выражения уже встречались в §§ 6 и 7 данной главьи

Как отмечалось ранее, случаи зависимости термических параметров и т. п. от приобретают все большее значение, хотя эти функции все еще плохо изучены для достаточно большого диапазона изменения

Те же уравнения и те же граничные условия встречаются в целом ряде других, разделов физики, и поэтому в них часто удается использовать многие из приведенных здесь решений (с изменением обозначений). Вместе с тем имеется много задач, имеющих практическое значение, которые мало отличаются от типовых. Некоторые основные приложения приведенных соотношений будут кратко изложены ниже.

I. Диффузия.

Это явление подробно рассмотрено в работах Крэнка [71], Бэррера [63] и Джоста [72]. Если С — концентрация диффундирующего вещества, - скорость его передачи, то соотношения (13.1) и (13.2) принимают вид

Если константа, то уравнения диффузии совпадают с уравнениями теплопроводности при следовательно, задача упрощается. На поверхности раздела двух сред соотношения (9.18) и (9.19) принимают вид

где константа, Итак, результаты, полученные ниже для составной среды, также можно отнести к этому случаю, соответствующим образом изменив обозначения.

Уравнения типов (13.4) и (13.5) используются значительно чаще. Например, они встречаются в задачах диффузии, происходящей одновременно с химической реакцией (см. гл. VIII, [7 6]), в исследованиях, связанных с диффузией в биологических тканях [77], в теории консолидации почв [78] и в генетике. Задачи одновременной» диффузия тепла и водяного пара приводят к системе двух дифференциальных уравнений (см. [71], гл.

II. Диффузия в силовом поле, седиментация.

В этих задачах мы получаем уравнение типа

где постоянный вектор. Указанное уравнение по существу представляет собой уравнение теплопроводности (13.5) для движущейся среды.

III. Замедление нейтронов.

При некоторых предположениях указанная задача сводится к задаче теплопроводности [84, 85]; при ее решении обычно пользуются функцией Грина.

IV. Вязкое движение.

Уравнение теплопроводности встречается в двух родственных, но несколько» отличающихся друг от друга задачах. Во-первых, многие задачи одномерного ламинарного течения приводят непосредственно к уравнению (13.3) с одной переменной [37]. Во вторых, дифференциальные уравнения, описывающие вихревые движения, являются уравнениями типа уравнения диффузии [37, 86, 87].

V. Задачи, рассматриваемые в теории электричества.

Дифференциальное уравнение для потенциала в безындуктивной линии передачи [88] имеет форму (13.4) с одной пространственной переменной при наличии утечки или форму (13.3) при отсутствии утечки (см. также § 6 гл. II).

VI. Течение жидкостей через пористую среду.

Дифференциальное уравнение, характеризующее течение сжимаемой жидкости через пористую среду [89], полностью соответствует уравнению (13.3). Это уравнение уравнения (13.4) и (13.5) встречаются во многих других задачах этого типа