§ 5. Область [0, l]. Температуры границ равны ... Начальная температура f(x)
В этом случае уравнение имеет следующий вид:
и
Следуя общему методу, приведенному в § 14 гл. I, положим
где
и
Решение для 
(см. § 3 данной главы) записывается в виде
Для определения 
мы должны использовать теорему Дюамеля (§ 14 гл. I), при помощи которой решение для случая, когда температуры на поверхности равны 
получается из решения, найденного для случая температур на поверхности, равных 
Если температура всей пластины в момент 
равна нулю, а ее концы поддерживаются при температурах 
и 
в интервале от 
до 
то тогда температура в момент времени 
определяется соотношением
Следовательно, при температурах поверхности концов, равных 
получим
где
Отсюда
Наконец, окончательно получаем
Для области 
с начальной температурой 
когда на границе 
отсутствует поток тепла, а на границе 
поддерживается температура 
решение, получаемое тем же способом, будет иметь вид
Приведем ряд решений, представляющих определенную практическую ценность. Они даются для области — 
поскольку в таких симметричных случаях легче проводить сравнение с соответствующими результатами для цилиндра и сферы.
1. Область 
с начальной температурой, равной нулю
При 
границы 
поддерживаются при температуре 
[9, 10]. В данном случае
2. Область — 
с начальной температурой, равной нулю. При 
границы 
поддерживаются при температуре 
В данном случае
при условии, что 
не равно ни одному из значений 
Решение (3.5) полезно для случая, когда температура границы изменяется быстро, но не мгновенно 
3. Область 
с начальной температурой, равной нулю. При 
границы 
поддерживаются при температуре 
