§ 11. Установившаяся температура. Определение коэффициента теплопроводности

I. Определение отношения коэффициентов электро- и теплопроводности методом Кольрауша.

Кольрауш показал, как наблюдения над установившимся температурным состоянием в нагреваемой электрическим током проволоке можно использовать для нахождения отношения коэффициентов электро- и теплопроводности [41, 49—54].

Температуры на концах проволоки поддерживаются возможно более близкими друг к другу. Предполагается, что поверхность непроницаема для тепла и электрический ток протекает в течение достаточного времени для достижения установившейся температуры.

В этом случае уравнение теплопроводности принимает вид

Пусть и — электрический потенциал в сечении х.

Тогда

но

Следовательно,

и

Отсюда

Таким образом,

где константы, определяемые из значений температур на концах.

Пусть значения в некоторых трех сечениях проволоки. Из соотношения (11.2) следует, что

Если на концах проволоки поддерживаются одинаковые температуры, то распределение температур в проволоке окажется симметричным относительно ее средней точки. Пусть точки находятся на равных расстояниях от средней точки по обе стороны от нее.

Тогда

и

Следовательно, из соотношения (11.3) получим

Таким образом, мы получили простой метод определения отношения коэффициентов теплопроводности и электропроводности Для нахождения по этому методу значения необходимо лишь измерить разности температур и потенциалов в двух точках проволоки, причем ток следует регулировать так, чтобы в ней сохранялось установившееся распределение температур.

II. Метод Каллендера и аналогичные ему методы.

Рассмотрим участок проволоки концы которого поддерживаются при нулевой температуре, а весь участок окружен оболочкой, имеющей нулевую температуру. Проволока нагревается переменным током, и, следовательно, в соотношении (10.4) данной главы член, содержащий и обусловленный эффектом Томсона, обращается в нуль. Тогда для случая установившегося состояния соотношение (10.4) из предыдущего параграфа принимает вид

где

Уравнение (11.4) следует решать с граничными условиями при Искомое решение имеет вид

Этими методами проще всего точно измерить изменение электрического сопротивления проволоки, вызываемое нагревом электрическим током. Если электропроводность при температуре, равной нулю, то сопротивление проволоки при этой температуре запишется в виде

Сопротивление проволоки при протекании тока в установившихся условиях равно

Подставляя в это выражение значения из (11.6), получим ([56, 57]; см. также § 2 гл. VII)

В методе Каллендера [58] сила тока такова, что т. е.

Отсюда следует, что в соотношении (10.4) предыдущего параграфа коэффициент при обращается в нуль, т. е. потери тепла с поверхности проволоки в результате теплообмена в точности компенсируются увеличением притока тепла, вызванного увеличением сопротивления проволоки с температурой. При таких условиях К определяется из соотношения (11.10) по данным об известных или измеримых величинах. Один из способов создания условий, соответствующих (11.12), заключается в измерении температуры в средней точке проволоки для случая, когда В длинной проволоке температура в разных точках центрального ее участка почти одинакова, т. е. величина пренебрежимо мала, и уравнение (11.4) можно записать в виде

Отсюда нетрудно найти величину и тогда значение можно выбрать таким, чтобы оно удовлетворяло (11.12).

Уравнения (11.9) и (11.11) справедливы для любых значений однако при использовании этих уравнений следует помнить, что зависят от температуры. Зависимость от температуры описывается сложной

функцией, и поэтому приведенными соотношениями практически можно пользоваться лишь тогда, когда температура проволоки мало отличается от температуры окружающей среды.

Изменение коэффициента теплопроводности с температурой можно исследовать следующим образом [55]: если уравнение (10.7) данной главы используется при условии (11.12), то распределение температур в проволоке записывается в виде

Решение этого уравнения, для которого при имеет вид

Если температура в средней точке проволоки, а

представляет собой среднее значение коэффициента теплопроводности проволоки для всей области температур от до то из (11.15) получим