ГЛАВА XVII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Введение
Классический метод решения задач теплопроводности заключается в нахождении решения в виде ряда частных решений дифференциального уравнения и некоторых граничных условий, причем коэффициенты ряда определяются из теории рядов Фурье или аналогичных им рядов. Этот метод вполне пригоден для задач с ограниченными областями. Однако при рассмотрении неограниченных областей соответствующий метод с использованием интегралов Фурье следует считать чисто формальным вследствие трудностей, связанных со сходимостью. (Весьма важные функции, например единица, не имеют преобразования Фурье.) Тем не менее эта формальная теория действительно дает правильные результаты, которые могут быть проверены a posteriori; ее можно сделать строгой путем обобщения [1] теории преобразования Фурье на комплексную плоскость. Кроме того, все чаще используется не интеграл Фурье, а эквивалентный метод преобразования Фурье (см. § 3 гл. II).
За последние три десятилетия метод преобразования Лапласа был значительно усовершенствован. При его применении к одномерным задачам этот метод обладает следующими преимуществами перед более старыми методами Фурье: 1) он дает стандартную методику, применяемую ко всем задачам одинаковым образом; 2) он применим ко всем граничным условиям и не зависит от последних, что устраняет необходимость разработки новой теории для каждого типа граничных условий; 3) он позволяет доказать очень много простых теорем, например теоремы, приведенные в § 2 гл. XII, которые можно использовать для получения новых результатов и новых преобразований, и 4) в большинстве случаев трудности, связанные со сходимостью, не возникают, и решение простых частных задач (например, задачи с постоянной начальной температурой и постоянной температурой поверхности) обычно можно считать совершенно строгим. В случае двумерных и трехмерных задач положение не столь удовлетворительно, и в методе, используемом в данной книге, после исключения времени с помощью преобразования Лапласа мы всегда вынуждены применять классические методы Фурье.
За последнее время для решения таких задач разработана теория некоторых других интегральных преобразований, позволяющая рассматривать все переменные с единой точки зрения. Подобный подход в значительной степени обладает упомянутым выше преимуществом (1) преобразования Лапласа, т. е. тем, что использование стандартной методики, применимой ко всем случаям, позволяет избежать необходимости отыскивать частные
решения, что облегчает проведение конкретных расчетов. С другой стороны, эти преобразования не обладают изложенными выше преимуществами (2)-(4). С их помощью нельзя рассмотреть все граничные условия с единой точки зрения, и каждая область и граничное условие требуют разработки нового преобразования и новой теории. Обычно для них нет таких хороших таблиц, какие имеются для преобразования Лапласа, а их теория оказывается очень сложной. Что касается интегральных теорем, то здесь обычно возникают серьезные трудности, связанные со сходимостью, и большая часть вычислений является чисто формальной. Наконец, следует подчеркнуть, что в настоящее время теория интегральных преобразований применима лишь в некоторых частных случаях, и поэтому она оказывается не более эффективной, чем преобразование Лапласа.
Итак, если можно решить задачи теплопроводности с одной координатой путем преобразования по этой координате, то наиболее мощным и наиболее подходящим методом следует считать преобразование Лапласа по времени. Вместе с тем при решении задач с установившимся тепловым потоком нас привлекает стройность методов интегральных преобразований. Они, по-видимому, должны стать весьма важными и для задач с несколькими координатами, причем последовательные преобразования (в том числе, вероятно, преобразования Лапласа) можно провести очень изящно.
Ниже приводится краткое описание некоторых простейших интегральных преобразований с тем, чтобы указать, какого типа анализ при этом используется, и дать возможность провести сравнение с классическими методами Фурье, применявшимися в настоящей книге.
