§ 10. Область [-l, l]. На границах х=+l происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Начальная температура f(x)

Часто начало координат удобно выбирать в центре исследуемой области, так как тогда яснее выявляется любая симметрия решения. Часто полезно также считать толщину пластины равной так как тогда. результаты легче сравнивать с результатами для цилиндров и сфер диаметром 2а. По этим

причинам перепишем соответствующим образом выражение (9.12). Оно будет иметь вид

где

а положительные корни уравнения

Так как уравнение (10.4) эквивалентно

то его положительные корни находят из следующих двух уравнений:

Из результатов, полученных в § 9 данной главы, следует, что все корни уравнений (10.6) и (10.7) являются действительными и простыми. Это, конечно, легко доказать. Некоторые численные их значения приведены в приложении 4.

Если корень уравнения (10.6), то если же корень уравнения (10.7), то

Если четная функция от то выражение (10.1) принимает вид

где положительные корни уравнения (10.6). Оно является также решением задачи о теплопроводности в области в отсутствие теплообмена на границе при наличии теплообмена на границе со средой, имеющей нулевую температуру, и при начальной температуре, равной это решение легко получить непосредственно при помощи метода, изложенного в § 9 настоящей главы. В данном случае разложение (9.6), приведенное в предыдущем параграфе, принимает вид

где положительные корни уравнения (10.6). В частном случае, когда из (10.9) следует, что

Аналогичным образом, если нечетная функция от то выражение (10.1) принимает вид

где положительные корни уравнения (10.7). Это выражение является также решением задачи о теплопроводности в области, в том случае, когда при на границе поддерживается нулевая температура, на границе происходит теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру, и начальная температура равна

Если не является ни четной, ни нечетной функцией, то решение имеет вид (10.1) и содержит корни как уравнения (10.6), так и уравнения (10.7). В данном случае подход оказывается аналогичным подходу при использовании ряда Фурье для представления произвольной функции в интервале с дальнейшим его выражением в виде ряда косинусов или синусов с учетом четности или нечетности функции