§ 3. Область ... при других граничных условиях

Метод, изложенный в предыдущем параграфе, заключается в использовании решения уравнения для линейного потока тепла, являющегося функцией только Как отмечалось в § 1 гл. II, функция служит единственным решением такого Типа, и поскольку нельзя удовлетворить граничным условиям третьего рода или граничным условиям с постоянным тепловым потоком, точных решений, подобных решениям предыдущего параграфа, не имеется. Тем не менее мы рассмотрим несколько задач этого типа.

I. Затвердевание в области когда в начальный момент времени жидкость находится при температуре плавления. При тепловой поток из твердого тела постоянен.

В данном случае решение можно записать в виде ряда [20]. Для этого представляют в виде степенного ряда по в виде двойного степенного ряда (1.13) гл. II. Подставив их в условия (2.1) и (2.2) предыдущего параграфа и воспользовавшись граничным условием при т. е.

получим искомое решение в виде

II. Пример но с граничным условием третьего рода

В данном случае

Некоторые значения температуры поверхности и положений поверхности раздела в этих случаях, полученные с помощью термического анализатора, приводятся в статье [21] .

III. Поверхность, на которой происходит затвердевание, движется с постоянной скоростью.

Простое точное решение для этого случая получено Стефаном [1]. Очевидно, что

где постоянные удовлетворяют условиям (2.1), (2.5) и (2.6) предыдущего параграфа. Это решение удовлетворяет также условию (2.2) данной главы, если

Таким образом, оно представляет собой решение задачи о промерзании в области в которой в начальный момент времени жидкость имеет температуру плавления, а поверхность, на которой происходит затвердевание, движется с постоянной скоростью Однако поскольку на плоскости температура принимает отрицательные, экспоненциально увеличивающиеся во времени (по абсолютной величине) значения, найденное решение не представляет большого физического интереса.

IV. Плавление с непрерывным удалением расплавленного материала.

Пусть твердое тело нагревается благодаря поступлению на его поверхность постоянного теплового потока причем весь расплавленный материал непрерывно удаляется, например, путем сдувания. Сюда же можно отнести и случай сублимации. Он имеет важное практическое приложение и именно таким, по-видимому, можно себе представить механизм разогревания метеоритов в земной атмосфере. Здесь мы приведем только простое решение для случая стационарного распределения температур [22, 23].

Примем плоскость, на которой происходит плавление, за плоскость и будем считать, что твердое тело в области движется относительно этой плоскости со скоростью (последнюю и нужно определить). Тогда, если Т — температура плавления, температура в области служит решением уравнения (7.2) гл. I при при эта температура стремится к 71, а при она стремится к нулю. Иными словами,

Если использовать это значение то из (7.1) гл. I следует, что тепловой поток в твердое тело равен нулю и, следовательно, количество тепла, подводимого извне в единицу времени должно равняться количеству тепла, отводимого в единицу времени с расплавленным материалом, т. е.

а температура при этом значении определяется формулой (3.10).