ГЛАВА XI. ИЗМЕНЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ

§ 1. Введение

Особый интерес представляет весьма важный класс задач, в которых исследуемое вещество претерпевает превращения, в результате чего оно переходит из одной фазы в другую с выделением или поглощением тепла. Такого рода задачи возникают во многих случаях, из которых важнейшими и наиболее распространенными являются случаи плавления и затвердевания. Поэтому для определенности большинство рассматриваемых здесь задач будет формулироваться именно в такой форме. Первой опубликованной работой, в которой рассматривались подобные задачи, является, по-видимому, работа Стефана [1], посвященная изучению толщины полярных льдов. Поэтому задачу о промерзании часто называют «задачей Стефана».

Существенно новой чертой таких задач является наличие движущейся поверхности раздела между двумя фазами, причем приходится определять закон движения этой поверхности. На ней происходит поглощение или выделение тепла; в данном случае термические свойства фаз по обеим сторонам движущейся поверхности могут оказаться различными, и поэтому такая задача весьма трудна. Ниже будет показано, что она нелинейна, и, следовательно, необходимо определять специальные решения, не обладающие к тому же свойством наложения (т. е. их комбинации не будут служить решениями).

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных решений, желательно показать, какие точные решения уже получены и какими методами мы сейчас располагаем. Наиболее важно точное решение Неймана для случая полуограниченной области находящейся в начальный момент времени при постоянной температуре V, превышающей температуру плавления, с поверхностью температура которой во все последующие моменты времени поддерживается равной нулю. Для других важных граничных условий при (например, постоянство теплового потока или граничные условия третьего рода), замкнутых решений нет, хотя для различных заданных значений температуры поверхности существует несколько решений, не представляющих, однако, сколько-нибудь существенного физического интереса. Часто применяемое приближение заключается в пренебрежении теплоемкостью исследуемого материала между поверхностью и поверхностью раздела, т. е. в предположении, что тепловой поток через эту область является установившимся.

Можно указать также точные решения ряда задач для неограниченной области, в которой в начальный момент времени при вещество находится в твердом состоянии и имеет постоянную температуру, а при вещество находится в жидком состоянии и также имеет постоянную температуру. Эти решения легко обобщить на случай нескольких критических температур и на случай, когда вместо фиксированной точки плавления мы имеем интервал температур плавления.

Для других областей, таких, как пластина [3] с поверхностью, поддерживаемой при нулевой температуре, или для области, в которой в начальный момент времени участок представляет собой жидкость, а участок -твердое тело, точные решения отсутствуют.

Что касается задач о радиальном потоке тепла в цилиндрических или сферических координатах, то здесь положение оказывается еще худшим. Простое точное решение в цилиндрических координатах известно только для задачи о выделении или поглощении тепла непрерывным линейным источником. Для области, ограниченной изнутри или снаружи круговым цилиндром с постоянной температурой поверхности, имеется только приближенное решение.

Не считая нескольких задач, имеющих точные решения, все остальные задачи приходится решать численными методами. Для этой цели используются цифровые методы, а также дифференциальный анализатор и устройство, основанное на методе электрической аналогии и названное термическим анализатором. В таких случаях (ср. § 5 гл. XVIII) упомянутые выше точные решения часто полезны как нулевые приближения к решениям. Систематическое использование численных методов [4, 5] имеет то преимущество, что с их помощью можно учесть изменение термических свойств материала с температурой, которое в интервалах температур, встречающихся в задачах о плавлении и затвердевании, часто оказывается значительным.

Применение полученных результатов представляет значительный практический интерес. Задача об образовании льда [6, 7] имеет чрезвычайно большое значение как в геофизике, так и при производстве льда. В последнее время большое внимание уделяется вопросу затвердевания отливок [8]. Изучение охлаждения больших масс изверженных горных пород имеет большое значение в геологии [9]. Часто приходится встречаться также с задачами о диффузии, в результате которой появляются аналогичные уравнения и граничные условия [10—12].