§ 2. Мгновенный точечный источник

Дифференциальное уравнение теплопроводности

удовлетворяется функцией

Если это выражение стремится к нулю везде, кроме точки где оно обращается в бесконечность.

Общее количество тепла в неограниченной области равно

Таким образом, решение (2.2) можно интерпретировать как распределение температур в неограниченном теле, обусловленное мгновенным выделением в момент времени в точке количества тепла Это фундаментальное решение, соответствующее мгновенному точечному источнику мощностью в момент в точке

Следует отметить, что температура в точке, находящейся на расстоянии от источника, достигает максимальной величины в момент времени Точно так же квадрат расстояния точек максимума температуры от источника в момент равен

Так как температуру в неограниченном теле с начальной температурой можно рассматривать как результат выделения в объеме тела при количества тепла, равного

в элементарном объеме имеющем координаты то температуру в любой момент времени можно определить интегрированием по объему тела; она равна

(см. также (2.8) гл. II).

Интересно получить решение (2.2) как предел действительного случая, когда в бесконечно малом объеме выделяется конечное количество тепла. Предположим, что мы берем этот объем в виде шара радиуса а и рассмотрим неограниченную среду для случая, когда начальная температура шара равна V, а в области она равна нулю. Если, как и в § I гл. IX, положить то уравнение для и

примет вид

при условиях

В этом случае решение вытекает из соотношения (4.1) гл. II и имеет вид

т.е.

Разлагая подынтегральную функцию в ряд по степеням и предполагая, что а мало, получим приближенное решение

где

Пусть теперь радиус шара стремится к нулю, но остается постоянным. Тогда решение (2.7) примет вид

Это решение для случая выделения тепла в начале координат совпадает с решением (2.2).

Наконец, приведем результаты некоторых обобщений метода мгновенного точечного источника на более сложные системы.

I. Для анизотропного материала с главными коэффициентами теплопроводности в направлении осей решение (2.2) следует заменить на

II. Мгновенный тепловой источник в тонком стержне.

Предположим, что на поверхности стержня с площадью поперечного сечения и периметром сечения происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Пусть коэффициент теплоотдачи равен Тогда функция

где удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.2) гл. IV и соответствует количеству тепла выделяемому в момент в точке Мгновенный тепловой источник в тонкой пластине.

Пусть пластина толщиной располагается в плоскости и на обеих ее сторонах пройсходит теплообмен со средой нулевой температуры, причем коэффициент теплоотдачи равен Дифференциальным уравнением для этой задачи служит уравнение (4.1) гл. Тогда функция

удовлетворяет дифференциальному уравнению и соответствует количеству тепла выделяемому в момент в начале координат.