§ 6. Стержень переменного сечения с охлаждающимися ребрами. Случай установившейся температуры

Дифференциальные уравнения, приведенные в § 2 настоящей главы, имеют практическое применение в теории тонких ребер, прикрепленных к поверхностям с целью повышения эффективности охлаждения последних посредством теплообмена или вынужденной конвекции [20—28]. Во всех случаях, рассматриваемых в данном параграфе, ребра считают настолько тонкими, что температуру по всей толщине ребра можно принять постоянной; соответствующие задачи для толстых ребер изложены в § 3 гл. V и в § 3 гл. VIII. Здесь мы рассмотрим только случай установившейся температуры. Задачи с неустановившейся температурой можно решить либо непосредственно, применяя преобразование Лапласа (см. гл. XII), либо используя описанную выше подстановку (см. (2.5) данной главы).

Вначале мы рассмотрим задачу, уже разобранную в предыдущем параграфе, а затем перейдем к другим случаям.

I. Прямоугольное ребро на плоской поверхности.

Возьмем плоскую поверхность, совпадающую с плоскостью Рассмотрим ребро, ограниченное областью

где толщина ребра (малая величина). Предположим, что плоскость поддерживается при температуре V и имеет место теплообмен между поверхностью ребра и средой с нулевой температурой. Тогда, воспользовавшись обозначениями, принятыми в § 2 данной главы, мы получим, что участок ребра единичной длины в направлении у имеет периметр и площадь Таким образом, уравнение (2.2) данной главы принимает вид

где

Это уравнение нужно решать при следующих граничных условиях:

и

Простое граничное условие (6.4) означает, что теплообмен на конце ребра пренебрежимо мал, что обычно выполняется достаточно строго; если же это не так [29], то граничное условие (6.4) следует заменить выражением

которое выглядит более громоздким, но не вводит новых особенностей.

Решение уравнения (6.1) с граничными условиями (6.3) и (6.4) имеет вид

С инженерной точки зрения наиболее интересной величиной является «эффективность» ребра. Эта величина определяется как отношение количества тепла, теряемого поверхностью ребра в единицу времени, к количеству тепла, которое должно было бы теряться в единицу времени, если бы ребро было удалено и площадь под его основанием отдавала тепло тем же путем. Последняя величина равна на единицу длины и, следовательно, эффективность ребра можно записать в виде

II. Сужающееся ребро на плоской поверхности.

Пусть стороны ребра сближаются на небольшой угол а, так что площадь участка ребра единичной длины в направлении оси у при равна а в точке х равна Тогда, пренебрегая членами, содержащими мы получим для периметра нашего участка равное 2. В этом случае уравнение (2.10) настоящей главы принимает вид

и его надо решать с граничными условиями (6.3) и (6.4). Положив

мы получим уравнение (6.8) в виде

Общее решение уравнения (6.10) представляет собой линейную комбинацию модифицированных функций Бесселя

Постоянные находят из граничных условий (6.3) и (6.4):

где

Пешая уравнение (6.12), получим окончательное решение (6.11) в виде

III. Тонкое кольцевое ребро постоянной толщины на цилиндре радиуса а. Здесь плоскость ребра перпендикулярна оси цилиндра. Толщина ребра в направлении, параллельном оси цилиндра, мала. Пусть его внешний радиус равен а тепловой поток с внешней поверхности пренебрежимо мал. Поскольку распространение тепла происходит исключительно в радиальном направлении, мы можем использовать дифференциальное уравнение (2.10) данной главы, считая, что площадь участка радиусом равна и его периметр равен Тогда из (2.10) следует

это уравнение нужно решать при граничных условиях

Общее решение уравнения (6.15) имеет вид

где

Используя условия (6.16) и (6.17), определим и в результате получим

В этом случае эффективность ребра равна

IV. Тонкое кольцевое ребро переменной толщины на цилиндре радиуса а. В случае линейно сужающегося ребра, рассмотренном в примере И, не существует решения, которое можно было бы выразить при помощи табулированных функций. Простые решения можно найти при двух других законах изменения толщины по радиусу.

Если толщина ребра изменяется обратно пропорционально радиусу, т. е.

то тогда уравнение (2.10), приведенное в настоящей главе, принимает вид

где определяется (6.19). Общее решение уравнения (6.23) записывается следующим образом:

где можно найти, как и прежде, из граничных условий (6.16) и (6.17).

Если толщина ребра изменяется обратно пропорционально квадрату радиуса,

то тогда уравнение (2.10) принимает вид

где определяется (6.19). Решение уравнения (6.26), которое удовлетворяет условиям (6.16) и (6.17), записывается следующим образом: