§ 2. Установившаяся температура

В настоящем параграфе мы рассмотрим задачи, в которых одни граничные плоскости твердого тела поддерживаются при постоянной температуре, тогда как на других плоскостях температура равна нулю или же происходит теплообмен со средой нулевой температуры. В более сложных случаях, в которых температуры граничных поверхностей являются заданными функциями положения, можно воспользоваться, как и в § 4 данной главы, теорией двойных рядов Фурье.

1. Твердое тело Температуры плоскостей постоянны и равны соответственно другие плоскости поддерживаются при нулевой температуре.

В этом случае дифференциальное уравнение для температуры тела имеет

Ясно, что выражение

удовлетворяет (2.1) при условии, что

Кроме того, если целые числа, то (2.2) обращается в нуль при и при с. Выражение

имеет те же свойства; кроме того, оно равно при при если

Далее, разлагая единицу в ряд по синусам в интервале получим

Аналогично

Перемножая (2.6) и (2.7), получим

Сравнивая (2.8) и (2.5), мы видим, что величина должна равняться нулю, если и не являются оба нечетными; в этом случае величина А должна равняться Таким образом, мы можем окончательно записать (2.4) в виде

где

II. Установившаяся температура в твердом теле

Температуры плоскостей поддерживаются при соответственно, а на других происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

В этом случае граничные условия имеют вид

Выражение

удовлетворяет уравнению теплопроводности при условии, что

Оно удовлетворяет также граничным условиям (2.12) и (2.13), если является корнем уравнения

а — корнем уравнения

Таким образом, решение нашей задачи записывается в виде

при этом постоянные должны быть выбраны так, чтобы

Далее, если положительные корни соответственно (2.16) и (2.17), то, используя соотношение (10.10) гл. III, получим

и

Перемножая эти выражения, получим

Как и прежде, в (2-18) находят путем сравнения (2.19) и (2.22). Тогда (2.18) окончательно записывается в виде

где определяется из (2.15).

Это решение не очень удобно для численного расчета или для определения теплопроводности [4].

III. Установившаяся температура в твердом теле плоскость поддерживается при постоянной температуре V, а на других плоскостях происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

В данном случае граничные условия имеют вид (2.12) и (2.13) и

Выражение, соответствующее (2.14), имеет вид

где определяется из (2.15), ааги положительные корни (2.16) и (2.17). Поступая так же, как и в пункте II, мы получим окончательно

Это выражение является обобщением решения двумерной задачи о коротком охлаждающем ребре (см. (3.20) гл. V).

IV. Задачи для неограниченного твердого тела прямоугольного сечения рассматриваются тем же способом (ср. также § 2 гл. V). Например, рассмотрим твердое тело причем его плоскость поддерживав при температуре V, а на других плоскостях происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

В данном случае выражение, соответствующее (2.14), имеет вид

и окончательно получим

где и I определяются соответственно из (2.16), (2.17) и (2.15).