§ 2. Установившаяся температура
В настоящем параграфе мы рассмотрим задачи, в которых одни граничные плоскости твердого тела поддерживаются при постоянной температуре, тогда как на других плоскостях температура равна нулю или же происходит теплообмен со средой нулевой температуры. В более сложных случаях, в которых температуры граничных поверхностей являются заданными функциями положения, можно воспользоваться, как и в § 4 данной главы, теорией двойных рядов Фурье.
1. Твердое тело 
Температуры плоскостей 
постоянны и равны соответственно 
другие плоскости поддерживаются при нулевой температуре.
В этом случае дифференциальное уравнение для температуры тела имеет
Ясно, что выражение
удовлетворяет (2.1) при условии, что
Кроме того, если 
целые числа, то (2.2) обращается в нуль при 
и при 
с. Выражение
имеет те же свойства; кроме того, оно равно 
при 
при 
если
Далее, разлагая единицу в ряд по синусам в интервале 
получим
Аналогично
Перемножая (2.6) и (2.7), получим
Сравнивая (2.8) и (2.5), мы видим, что величина 
должна равняться нулю, если и 
не являются оба нечетными; в этом случае величина А должна равняться 
Таким образом, мы можем окончательно записать (2.4) в виде
где
II. Установившаяся температура в твердом теле 
Температуры плоскостей 
поддерживаются при 
соответственно, а на других происходит теплообмен со средой нулевой температуры.
В этом случае граничные условия имеют вид
Выражение
удовлетворяет уравнению теплопроводности при условии, что
Оно удовлетворяет также граничным условиям (2.12) и (2.13), если 
является корнем уравнения
а 
— корнем уравнения
Таким образом, решение нашей задачи записывается в виде
при этом постоянные 
должны быть выбраны так, чтобы
Далее, если 
положительные корни соответственно (2.16) и (2.17), то, используя соотношение (10.10) гл. III, получим
и
Перемножая эти выражения, получим
Как и прежде, 
в (2-18) находят путем сравнения (2.19) и (2.22). Тогда (2.18) окончательно записывается в виде
где 
определяется из (2.15).
Это решение не очень удобно для численного расчета или для определения теплопроводности [4].
III. Установившаяся температура в твердом теле 
плоскость 
поддерживается при постоянной температуре V, а на других плоскостях происходит теплообмен со средой нулевой температуры.
В данном случае граничные условия имеют вид (2.12) и (2.13) и
Выражение, соответствующее (2.14), имеет вид
где 
определяется из (2.15), ааги 
положительные корни (2.16) и (2.17). Поступая так же, как и в пункте II, мы получим окончательно
Это выражение является обобщением решения двумерной задачи о коротком охлаждающем ребре (см. (3.20) гл. V).
IV. Задачи для неограниченного твердого тела прямоугольного сечения рассматриваются тем же способом (ср. также § 2 гл. V). Например, рассмотрим твердое тело 
причем его плоскость 
поддерживав 
при температуре V, а на других плоскостях происходит теплообмен со средой нулевой температуры.
В данном случае выражение, соответствующее (2.14), имеет вид
и окончательно получим
где 
и I определяются соответственно из (2.16), (2.17) и (2.15).
