§ 4. Непрерывные и периодические источники

I. Непрерывный точечный источник.

Если в точке в интервале времени от до выделяется в единицу времени количество тепла то температура в точке в момент времени полученная интегрированием соотношения (2.2) данной главы, будет равна

где

Говорят, что такое распределение температур обусловливается действием с момента времени постоянного точечного источника мощностью

Если мощность источника постоянна и равна то мы получим, положив

При это выражение сводится к т. е. дает установившееся распределение температуры для случая распространения тепла в неограниченном теле от точки в которой осуществляется постоянный подвод тепла.

И. Непрерывный линейный источник.

Предположим, что на единицу длины линии, параллельной оси и проходящей через точку в единицу времени выделяется количество тепла, равное Если подвод тепла начинается в момент времени когда тело имеет нулевую температуру, то, согласно (3.1) данной главы, температура в момент будет равна

где

Если мы получим

где

является интегральной показательной функцией. Численные значения этой функции можно найти в работе [5].

Для малых значений х

где - постоянная Эйлера. Таким образом, для больших значений приближенно имеем

Часть выражения (4.6), содержащая т. е. дает температуру, обусловленную постоянным подводом тепла, количество которого в единицу времени на единицу длины равно Это решение имеет очень

большое значение. Оно определяет распределение температур в неограниченном теле, нагреваемом вдоль какой-либо линии (например, нагрев бесконечно тонкой проволокой, по которой пропускается электрический ток), и следовательно, является приближенным решением для случая нагревания неограниченного тела проволокой, по которой идет ток.

Влияние конечного диаметра проволоки будет рассмотрено в § 7 гл. XIII.

Если полуограниченное тело, поверхность которого поддерживается при нулевой температуре, нагревается линейным источником, расположенным параллельно поверхности тела на расстоянии а от нее, то искомое решение можно получить методом изображений, описанным в § 10 данной главы. Это решение имеет вид

где расстояния точки до линейного источника и до его зеркального изображения относительно поверхности соответственно.

III. Непрерывный цилиндрический поверхностный источник.

Искомое решение получается из соотношения (3.5) предыдущего параграфа. Его нельзя выразить через табличные функции.

IV. Непрерывный плоский источник.

Предположим, что, начиная с момента в плоскости х начинает выделяться количество тепла, равное в единицу времени на единицу площади Тогда, согласно (3.4), температура в момент времени будет равна

Если решение принимает вид

V. Непрерывный сферический поверхностный источник.

Если на шаровой поверхности радиуса начиная с момента выделяется количество тепла, равное в единицу времени на единицу площади то температура в точке в момент времени запишется в виде

Если то решение принимает вид

VI. Периодический точечный источник.

Если, начиная с момента времени в единицу времени выделяется количество тепла т. е. имеют место установившиеся периодические

условия, то, как и в случае I, получим

где

Таким же образом можно рассматривать и периодический плоский источник. Соответствующие решения приведены в § 6 гл. II.

VII. Периодический линейный источник.

Если, начиная с момента времени до в единицу времени на единицу длины выделяется количество тепла то

где расстояние до линейного источника.