§ 3. Тепловой поток через произвольную поверхность

Количество тепла, передающееся через произвольную поверхность в точке и рассчитанное на единицу поверхности в единицу времени, называется тепловым потоком через данную поверхность в данной точке и обозначается через

Сначала мы покажем, что тепловой поток через плоскость в точке непрерывно изменяется при изменении положения точки если направление нормали к этой плоскости остается постоянным. Пусть бесконечно малая площадка в плоскости, включающая точку служит основанием цилиндра, образующие которого равны и параллельны отрезку длиной где бесконечно малая более высокого порядка, чем линейные размеры площадки (рис. 1).

Пусть величины тепловых потоков через основания цилиндра, включающие точки сравнению с этими потоками тепловой поток

через криволинейную поверхность цилиндра пренебрежимо мал. Приращение количества тепла в цилиндре, таким образом, составит Обозначим теперь среднюю температуру вещества в пределах нашего цилиндра через V, расстояние между основаниями цилиндра — через а плотность и удельную теплоемкость вещества — соответственно через ; тогда приращение количества тепла в цилиндре должно равняться следующей величине:

Приравнивая обе величины друг другу, получим

Рис. 1.

Если то выражение в правой части стремится к нулю, и следовательно,

Важно отметить, что приведенная выше аргументация не требует, чтобы термические свойства среды изменялись непрерывно; достаточно того, чтобы они были конечны. Это позволит нам в дальнейшем утверждать, что на поверхности раздела двух сред тепловой поток непрерывен (см. § 9 данной главы).

Покажем теперь, что если величины даны для трех взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся в некоторой точке, то можно определить значение для любой другой плоскости, проходящей через ту же точку.

Рассмотрим элементарный тетраэдр три грани которого параллельны координатным плоскостям, а перпендикуляр» опущенный из точки на грань имеет направляющие косинусы и длину (рис. 2). Пусть площадь грани равна ; тогда площади граней и соответственно равны

Если обозначить величины тепловых потоков через элементарные площадки и через то приращение количества тепла в тетраэдре можно записать в виде

Рис. 2.

С другой стороны, если — соответственно плотность и удельная теплоемкость твердого тела, средняя температура вещества в пределах нашего тетраэдра, то это приращение количества тепла должно равняться следующей величине:

Отсюда вытекает, что

Далее, если стремится к нулю, то правая часть соотношения (3.1) также стремится к нулю и становятся равными потокам тепла»

протекающим в точке через плоскости, параллельные координатным плоскостям, и через плоскость, включающую точку нормаль к которой имеет направляющие косинусы Таким образом, мы имеем

Если в точке известны значения трех тепловых потоков через плоскости, параллельные координатным плоскостям, то из соотношения (3.2) можно определить тепловой поток через любую другую плоскость, проходящую через точку

Каждой точке твердого тела соответствует вектор составляющие которого равны Его модуль равен

а направлен он вдоль линии, направляющие косинусы которой равны

Такой вектор можно назвать вектором теплового потока в точке Тепловой поток в точке через плоскость, нормаль к которой определяется отношениями (3.4), как раз и равен поток в точке через плоскость, нормаль к которой образует угол с направлением, определенным отношениями (3.4), равен