§ 8. Установившийся тепловой поток в многоугольнике

Решения, приведенные в предыдущем параграфе, найдены путем использования хорошо известных преобразований, соответствующих рассматриваемым областям. Общий метод нахождения преобразования различных областей отсутствует. Для двумерного установившегося потока в области, ограниченной многоугольником, теоретически возможно найти соответствующее преобразование путем использования приведенной ниже теоремы.

Теорема Шварца — Кристоффеля [23, 24] гласит, что любой многоугольник, ограниченный в плоскости прямыми, можно преобразовать в ось плоскости и что точки внутри многоугольника на плоскости преобразуются в точки на полуплоскости Преобразование, с помощью которого это достигается, получается из соотношения

где внутренние углы многоугольника, точки на вещественной оси, в которые преобразуются вершины углов, С — постоянная; кроме того, если одна из вершин углов соответствует бесконечному значению то соответствующий множитель в соотношении (8.1) опускается.

Какими бы ни были значения преобразование (8.1) отображает ось в многоугольник с внутренними углами если он должен быть подобным заданному многоугольнику, то можно произвольно выбрать только три значения из остальные должны определяться размерами заданного многоугольника.

Если преобразование известно, то температуру в любой точке можно вывести из известного решения для температуры в полуплоскости обусловленной температурой на границе По аналогии с соотношением (2.20) гл. V получаем для этой температуры

Если при а при то это выражение принимает вид

Приведенное выше преобразование можно использовать для изучения тепловых потоков в прямоугольнике, а также в области, находящейся между квадратами с параллельными сторонами и общим центром [28, 29]. В общем случае решения будут содержать эллиптические или другие специальные функции. Наиболее простые и вместе с тем наиболее важные результаты получаются при использовании этого метода в случае вырожденных многоугольников с несколькими углами на бесконечности; в ряде таких случаев решение содержит только элементарные функции и делает возможным изучение двумерных задач, которые являются идеализацией таких широко распространенных систем, как изогнутая стенка, стенка переменной толщины, впадина в стенке, изолирующее кольцо и т. п. Рассмотрим несколько примеров такого типа.

I. Тепловой поток между неограниченной плоскостью и полуограниченной плоскостью (рис. 51).

Рассмотрим многоугольник в плоскости обозначенный Он имеет угол, равный нулю при на бесконечности, внутренний угол 2? при если принять, что точки, соответствующие находятся на бесконечности в плоскости то углы В здесь рассматривать не надо.

Рис. 51.

Рис. 52.

Поскольку в плоскости три точки можно выбирать произвольным образом, примем, что точки располагаются в бесконечности, в точке в точке Фигура, получающаяся в плоскости показана на рис. 52. Тогда соотношение (8.1) принимает вид

Рис. 53.

Сокращенный метод с использованием внутренних углов примененный выше для получения соотношения (8.3), оказывается наиболее удобным. Если угодно, многоугольник, показанный на рис. 51, можно рассматривать как предельный случай многоугольника (рис. 53) при и вершинах удаляющихся на бесконечность. Записывая соотношение (8.1) для многоугольника, показанного на рис. 53, и переходя к пределу, мы снова получим (8.3).

Интегрирование соотношения (8.3) дает

Произвольные постоянные находят путем точного задания многоугольника в плоскости Постоянную С всегда можно считать действительной; придание ей комплексного значения просто поворачивает многоугольник. Если отрезок служит участком оси х, то величина при действительном и отрицательном должна быть действительной. Это требует, чтобы и тогда (8.4) принимает вид

Теперь в точке и, следовательно, Отсюда следует, что расстояние между данными плоскостями равно

Тепловой поток между неограниченной плоскостью и прямим двугранным углом.

Здесь рассматриваемым многоугольником служит (рис. 54), и мы преобразуем точки точку и точку в точки на оси Внутренние углы при точке В и точке равны соответственно и 0; тогда соотношение (8.1) принимает вид

что

Рис. 54.

Рис. 55.

Чтобы определить произвольные постоянные воспользуемся тем, что при переходе через нуль уменьшается на Кроме того, при действительно, т. е. является действительной осью в плоскости Таким образом, если расстояние между и равно то Далее, при При выборе начало координат фиксируется на пересечении и продолжения АВ.

III. Изолирующее кольцо. Многоугольник, показанный на рис. 55, можно использовать для исследование влияния изолирующего кольца на изотермы между параллельными плоскостями. Пусть А переходит в а В переходит в точка в где а будет определено позднее, в Внутренние углы в вершинах и равны нулю; в вершинах они равны Тогда

Интегрируя, найдем

где постоянную интегрирования следует выбрать так, чтобы при служит отрезком оси у, а ось х располагается посередине между

и Чтобы найти а и С, мы предполагаем, что есть расстояние между плоскостями и и что есть расстояние между плоскостями и тогда точка О имеет координату Полагая в соотношении найдем

Отсюда

IV. Стенка, согнутая под прямым углом.

Схематическое изображение такой стенки показано на рис. 56. Точки отображаются в в плоскости Используемое преобразование определяется уравнением

Рис. 56.

Чтобы проинтегрировать его, положим

тогда

где постоянная интегрирования обращается в нуль в результате выбора при т. е. выбора в качестве начала координат в плоскости точки

Соотношение (8.9) можно написать в другом виде

Полагая в соотношении найдем значение для точки оно будет равно — Теперь, если расстояние между вертикальными границами стенки (рис. 56) равно а расстояние между ее горизонтальными границами равно то для точки В получаем при Поэтому из (8.10) находим

Рис. 57.

V. Скачкообразное изменение толщины стенки [36, 37, 41].

Схематическое изображение такой стенки показано на рис. 57, причем значения в плоскости отмечены у вершин углов. Используемое преобразование определяется выражением

Полагая

находим

Произвольные постоянные интегрирования выбираются таким образом, чтобы при Кроме того, полагая в соотношении находим

Наконец, при действительно. Поэтому является отрезком действительной оси в плоскости а начало координат лежит на пересечении и Если толщины стенки слева и справа от начала координат равны то мы получим

VI. Перегородка в стенке [38].

Значения соответствующие вершинам углов, указаны на рис. 58 Используемое преобразование определяется соотношением

где постоянная интегрирования выбрана так, что когда т. е. начало координат в плоскости находится у основания перегородки. Далее» из соотношения (8.14) получим

Таким образом, если расстояние между стенками равно А, а высота перегородки мы должны получить

Рис. 58.