§ 7. Полуограниченная область. Применение теоремы обращения
В качестве примера задачи, в которой, пользуясь таблицей изображений, нельзя получить непосредственно ответа, рассмотрим случай полуограниченного твердого тела с нулевой начальной температурой.
При температура поверхности этого тела меняется по закону
В данном случае вспомогательное уравнение имеет вид
При мы должны иметь
и, следовательно,
Решение уравнения (7.1) при условии (7.2), имеющее конечное значение при записывается в виде
Так как в таблице изображений такого выражения нет, применим теорему обращения и получим
Подынтегральная функция (7.4) имеет при точку ветвления и обладает простыми полюсами при Рассмотрим интеграл по контуру
показанному на рис. 40, т. е. интеграл
На этом контуре и внутри него подынтегральная функция является однозначной функцией Аргументом на служит а на этим аргументом служит
По теореме Коши интеграл по такому замкнутому контуру равен произведению На сумму вычетов относительно полюсов внутри контура. Эти полюсы находятся в точках Вычет относительно полюса равен
Отсюда сумма вычетов относительно полюсов равна
Рассмотрим теперь интеграл по контуру при переходе к пределу, когда радиус большой окружности стремится к бесконечности, а радиус малой окружности — к нулю. При интеграл по дугам и стремится к нулю. По мере того как радиус малой окружности с центром в начале координат приближается к нулю, интеграл по этой окружности также стремится к нулю. При интеграл по становится равным интегралу в соотношении (7.4). В интегралах по и мы полагаем соответственно и получаем
где
Итак, используя (7.4), (7.6) и (7.7), окончательно получим
Первый член соотношения (7.8), полученный из вычетов (7.6) относительно полюсов представляет собой часть решения, соответствующую стационарному состоянию, и, если необходима только она, рассматривать интеграл (7.7) нет необходимости (ср. § 5 гл. XV). Результаты (8.4) и (9.13) гл. И можно получить таким же путем.
Все решения, приведенные в § 4 данной главы, которые были получены при помощи таблицы изображений, можно, конечно, найти, как и в настоящем параграфе, воспользовавшись теоремой обращения.