§ 7. Полуограниченная область. Применение теоремы обращения
В качестве примера задачи, в которой, пользуясь таблицей изображений, нельзя получить непосредственно ответа, рассмотрим случай полуограниченного твердого тела 
с нулевой начальной температурой.
При 
температура поверхности 
этого тела меняется по закону 
В данном случае вспомогательное уравнение имеет вид
При 
мы должны иметь
и, следовательно,
Решение уравнения (7.1) при условии (7.2), имеющее конечное значение при 
записывается в виде
Так как в таблице изображений такого выражения нет, применим теорему обращения и получим
Подынтегральная функция (7.4) имеет при 
точку ветвления и обладает простыми полюсами при 
Рассмотрим интеграл по контуру
показанному на рис. 40, т. е. интеграл
На этом контуре и внутри него подынтегральная функция является однозначной функцией 
Аргументом 
на 
служит 
а на 
этим аргументом служит 
По теореме Коши интеграл по такому замкнутому контуру равен произведению 
На сумму вычетов относительно полюсов внутри контура. Эти полюсы находятся в точках 
Вычет относительно полюса 
равен
Отсюда сумма вычетов относительно полюсов 
равна
Рассмотрим теперь интеграл по контуру 
при переходе к пределу, когда радиус большой окружности 
стремится к бесконечности, а радиус малой окружности — к нулю. При 
интеграл по дугам 
и 
стремится к нулю. По мере того как радиус малой окружности с центром в начале координат приближается к нулю, интеграл по этой окружности также стремится к нулю. При 
интеграл по 
становится равным интегралу в соотношении (7.4). В интегралах по 
и 
мы полагаем 
соответственно и получаем
где 
Итак, используя (7.4), (7.6) и (7.7), окончательно получим
Первый член соотношения (7.8), полученный из вычетов (7.6) относительно полюсов 
представляет собой часть решения, соответствующую стационарному состоянию, и, если необходима только она, рассматривать интеграл (7.7) нет необходимости (ср. § 5 гл. XV). Результаты (8.4) и (9.13) гл. И можно получить таким же путем.
Все решения, приведенные в § 4 данной главы, которые были получены при помощи таблицы изображений, можно, конечно, найти, как и в настоящем параграфе, воспользовавшись теоремой обращения.
